Gödel, Kurt

Godel, Kurt

Gödel, Kurt

Matematico e filosofo austriaco, naturalizzato statunitense (Brno 1906 - Princeton 1978). Libero docente di matematica nell’univ. di Vienna (1933-38), fu uno degli studiosi che si riunivano attorno a Schlick nel Wiener Kreis (➔ Vienna, Circolo di). Dopo il 1938 emigrò negli Stati Uniti. Si è occupato prevalentemente di logica matematica, di teoria degli insiemi e di teoria della relatività. Tra i suoi scritti: Über formal unentscheidbare Sätze der «Principia mathematica» und verwandter Systeme (1931); The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum hypothesis (1940); Russell’s mathematical logic (1944). Il suo nome resta particolarmente legato a due risultati fondamentali. Un’ampia raccolta dei suoi scritti è stata tradotta in Opere (3 voll., 1999-2002). Il primo è il cosiddetto numero di G.: è un numero intero che può venire associato a ogni espressione di un sistema formale T del primo ordine. Il criterio per eseguire questo collegamento è, per lo più, il seguente: si scelgono una volta per tutte più numeri interi a, b, c, d,..., da farsi corrispondere ordinatamente ai vari segni del sistema T. Ciò fatto, si consideri un’espressione qualsiasi A di T: essa è costituita da una certa successione di segni di T e perciò dà luogo ad una nuova successione n₁, n₂, n₃,..., i cui elementi sono quei numeri che, in base alla convenzione fatta, corrispondono rispettivamente al 1°, al 2°, al 3°,..., segno di A. Il numero di G. di A è il risultato della moltiplicazione = 2ⁿ¹ 3ⁿ² 5ⁿ³ 7ⁿ⁴ ..., per tanti numeri primi quanti sono i segni di A. Viceversa, ogni numero intero che scomposto in fattori primi dia luogo unicamente a esponenti uguali a qualcuno dei numeri a, b, c, ..., è numero di G. di una espressione di T. Non ogni numero intero è, perciò, un numero di Gödel. Un procedimento del tipo indicato è detto aritmetizzazione o gödelizzazione; il suo uso è molto opportuno, per trattare varie questioni di logica matematica. Il secondo fondamentale apporto di G. è il teorema di incompletezza sintattica. È questo il più celebre dei teoremi di G. e fu da lui reso noto nel 1931. Esso prende in considerazione un sistema formale assiomatico T che sia coerente e in grado di esprimere l’aritmetica ricorsiva. Ebbene, nel linguaggio di T esistono delle proposizioni tali che né esse né le loro negazioni sono dimostrabili in T. T viene perciò detto sintatticamente incompleto, e si dimostra che tale incompletezza è essenziale: cioè essa non è eliminabile neppure ampliando l’insieme degli assiomi in modo che contenga la proposizione né dimostrata né refutata nel sistema. Un’interessante conseguenza del teorema di G. è che nel sistema T non è dimostrabile la proposizione che asserisce la coerenza dello stesso T, o, come a volte si dice, seppure in maniera approssimativa, la coerenza di T non può venir dimostrata con mezzi formalizzabili entro T. Poiché le dimostrazioni finitiste richieste da Hilbert soddisfano invece quest’ultimo requisito, o perlomeno non si ha idea di una dimostrazione finitista non rappresentabile aritmeticamente, le condizioni hilbertiane sembrano troppo ristrette e destinate a fallire. Questo non vuol dire però che non si possano avere dimostrazioni di coerenza dell’aritmetica; Gentzen ne ha data una nel 1936, con un metodo costruttivo, ma non finitista in senso hilbertiano.