FOURIER, Jean-Baptiste-Joseph

FOURIER, Jean-Baptiste-Joseph

Matematico francese, nato a Auxerre il 21 marzo 1768, morto a Parigi il 16 maggio 1830. Insegnò matematica, dapprima nella scuola che aveva frequentato come allievo; poi, nella École Normale di Parigi; e infine nella École Polytechnique. Nel 1798, lasciò la cattedra per seguire Bonaparte in Egitto, ove assolse importanti incarichi politici, amministrativi, scientifici. Ritornato in Francia, nel 1801, ebbe l'idea di riunire in una grande opera quanto poteva illustrare la spedizione d'Egitto, e per essa scrisse un'ammirevole introduzione (Préface historique). Dal 1802 al 1815, fu prefetto dell'Isère. Nel 1817 entrò all'Académie des sciences, della quale divenne segretario perpetuo nel 1822. Nel 1826 fu eletto all'Académie française.

Il nome di F. resterà nella scienza soprattutto per gli studî da lui fatti sulla teoria del calore. É classica la sua Théorie analytique de la chaleur, pubblicata a Parigi nel 1822, ma scritta verso il 1812. Il grande valore di quest'opera è dovuto essenzialmente al metodo con cui furono trattati i problemi che in essa vennero risolti; metodo fondato sulle serie e gl'integrali trigonometrici, di cui F. mostrò tutta l'importanza, e che da lui presero poi il nome (v. qui sotto). F. affermò, per primo, che ogni funzione è rappresentabile con una serie trigonometrica, il che, sotto qualche opportuna restrizione, fu poi da altri rigorosamente provato. A F. si deve anche di avere efficacemente contribuito a chiarire il moderno concetto di funzione (v. funzione); e di lui va pure rammentato un teorema sulla posizione delle radici di un'equazione algebrica, che è ora noto sotto il nome di teorema di Budan-Fourier.

Opere: Øuvres de F. curate da G. Darboux, 2 voll., Parigi 1888-1890. Della Théorie analytique de la chaleur (Parigi 1822), esistono anche un'edizione postuma (Breslavia 1883), una traduzione inglese, curata da A. Freemann (Cambridge 1872) e una traduzione tedesca, curata da B. Weinstein (Berlino 1884).

Serie di Fourier. - Una serie (v. serie) della forma

nella quale a₀, a₁, b₁, a₂, b₂, ..., a_n, b_n, ... sono numeri costanti ed x è un numero variabile, si dice serie trigonometrica. Se tutte le costanti a₀, a₁, a₂, sono nulle, la (1) è una serie di seni; se sono nulle tutte le b_1, b₂, ..., la (1) è una serie di coseni. Le costanti a₀, a₁, b₁, a₂, b₂, ... (dette coefficienti della serie trigonometrica) possono esser date mediante una legge qualsiasi; quando sono determinate per mezzo delle formule

dove f(a) è una funzione data, la (I) chiamasi serie di F., ed è precisamente la serie di F. della f(x). Se la serie (1) è convergente (v. serie) per tutti gli x reali, la sua somma S(x) risulta funzione della variabile reale x, periodica di periodo 2 π; essa cioè assume lo stesso valore in punti x₁ e x₂ tali che x₂ − x₁ sia un multiplo intero di 2π. Sotto condizioni, del resto molto generali, riguardanti la f(x) (funzione della variabile reale x), la sua serie di F. risulta ovunque convergente, con somma esattamente uguale al valore della funzione medesima; tale serie serve, perciò, a rappresentare analiticamente la funzione che la genera, e anche a calcolarne il valore. Affinché ciò avvenga in modo completo, è necessario che la f(x) sia periodica, di periodo 2π. Se la f(x) è periodica, ma di periodo T diverso da 2π la sua rappresentazione analitica si può ottenere con la nuova serie trigonometrica

i cui coefficienti sono dati dalle formule

Anche la (1′) si dice serie di F.; essa si riduce alla (1) per T = 2π. Le serie di F. possono pure adoperarsi (con qualche precauzione però) per la rappresentazione analitica delle funzioni non periodiche, purché considerate su un intervallo finito.

Esempî: 1) Sia f(x) la funzione periodica, di periodo 2π, uguale a x nell'intervallo (0, π) ed uguale a 2π − x nell'intervallo (π, 2π) (fig. 1). La sua serie di F. è data da

e questa serie è ovunque convergente, con somma sempre uguale alla f(x).

2) Sia la funzione f(x) = x, considerata nell'intervallo (0, 2π) (fig. 2). La sua serie di F. è

e risulta ovunque convergente, con somma esattamente uguale alla f(x) in tutti i punti dell'intervallo (0, 2π), eccettuati gli estremi 0 e 2π, in cui, invece, tale somma è data da [f(0) + f(2π)]/2 = π. L'eccezione si presenta perché la funzione qui considerata non è periodica.

Origine e sviluppo storico. - La teoria delle serie trigonometriche può dirsi che abbia avuto origine dal problema delle corde vibranti (v. curve; equazioni; fili). Consideriamo, in un piano σ, un sistema di assi cartesiani ortogonali x e y (v. coordinate) e immaginiamo tesa, fra due punti fissi O e O′ dell'asse delle x, una corda elastica, onogenea. Spostiamola. sempre nel piano o, dalla sua posizione di equilibrio e lasciamola poi vibrare liberamente. Allora, indicando con y(x, t) lo spostamento che presenta, al tempo t, il suo punto di ascissa x, il problema analitico da risolvere consiste nel determinare la funzione y(x, t). La prima soluzione generale di questo problema fu data, nel 1747, da J. D'Alembert, ma su di essa si accese subito una lunga e vicace disputa, alla quale parteciparono, con altri, L. Eulero e Daniele Bernoulli. Partendo da certe soluzioni particolari del problema (indicate da B. Taylor), corrispondenti al fatto fisico che una corda di lunghezza l può dare, oltre al proprio suono fondamentale, anche quelli delle corde di lunghezza l/2, l/3, ..., l/n, ..., e osservando che la stessa corda può generare contemporaneamente questi varî suoni, D. Bernoulli affermò, nel 1753, che la soluzione generale del problema delle corde vibranti è espressa dalla serie

dove a e tutte le a_n sono delle costanti. Eulero fece subito rilevare che, contando il tempo t dal principio delle vibrazioni, per t = 0 la soluzione precedente deve rappresentare la forma, che è del tutto arbitraria, assunta dalla corda con lo spostamento iniziale; e siccome, per t = 0, la formula soprascritta dà la serie trigonometrica

ne trasse la conseguenza che, ammettendo l'esattezza della soluzione di Bernoulli, deve anche ammettersi che ogni funzione, o, geometricamente parlando, ogni curva, incontrata in un sol punto al più da ogni parallela all'asse delle y, può essere rappresentata da una serie trigonometrica. Ciò era in contrasto con il concetto di funzione che allora si aveva e fu pertanto ritenuto come cosa assurda. Ma il fatto, che così veniva respinto, doveva apparire ripetutamente, all'inizio del sec. XIX, al F., nei suoi importanti studî matematici sul calore, e in circostanze analoghe a quelle in cui si era presentato a traverso la soluzione di Bernoulli; e F., in una nota letta all'Académie des sciences di Parigi nel 1807, e in altri lavori successivi, dei quali la parte più notevole si trova riunita nella celebre Théorie analytique de la chaleur, superato il vecchio concetto di funzione, affermò risolutamente la sviluppabilità in serie trigonometrica di ogni funzione f(x) e determinò i coefficienti di tale sviluppo, ottenendo quella serie che fu poi chiamata serie di F. I ragionamenti di cui F. si servì sollevarono immediatamente varie critiche da parte di illustri matematici, quali il Laplace, il Lagrange e il Legendre; ma egli, pur senza riuscire a togliere valore a tali critiche, non ne fu scosso nella sua fiducia verso i metodi escogitati, i quali andarono sempre più affermandosi in virtù della varietà dei problemi a cui furono applicati. Gli studî che fiorirono dopo la sua morte mostrarono poi come la sua fiducia fosse pienamente giustificata; e L. Dirichlet, R. Lipschitz, U. Dini, C. Jordan ed altri precisarono le condizioni di effettiva validità dello sviluppo in serie di F., condizioni che, nei problemi fisici, risultano sempre largamente soddisfatte. Così le serie di F. divennero uno strumento utilissimo nella rappresentazione analitica delle funzioni, tanto nelle matematiche pure quanto in quelle applicate; ed ora s'incontrano di frequente nella fisica matematica, nell'astronomia e, in modo particolare, ovunque si debbano rappresentare analiticamente fenomeni periodici. Insieme con le applicazioni, si ebbero, nel secolo passato e in quello presente, sviluppi teorici sulle serie di F., di altissimo interesse, iniziatisi con una memoria di B. Riemann (scritta nel 1854, pubblicata nel 1867), e proseguiti da G. Cantor, P. Du Bois-Reymond, U. Dini, H. Lebesgue, L. Fejér e molti altri.

Analisi armonica. - Secondo F. le serie che da lui presero il nome, quando siano applicate a rappresentare un fenomeno fisico, offrono anche una vera e propria analisi fisica del fenomeno. Così, se si tratta di un fenomeno acustico, il termine y₁ = a₁ cos x + b₁ sen x, della serie di F., il quale ha lo stesso periodo 2π di tutta la serie, rappresenta il suono fondamentale; gli altri termini y_n = a_n cos n_x + b_n sen n_x per n = 2, 3, ..., che hanno i periodi 2π/2, 2π/3, ..., rappresentano i suoni armonici superiori, e precisamente il 2°, 3°, ..., armonico, e su di essi, in generale, predomina il suono fondamentale. Analogamente, se si tratta di un qualunque moto periodico, la serie di F. lo decompone in una somma di infiniti moti pendolari o armonici, dei quali quello corrìspondente al termine y₁ è il fondamentale (con lo stesso periodo del moto complessivo), mentre quelli corrispondenti a y₂, y₃, ... sono il 2°, 3°, ... armonico del primo (e di periodi 2π/2, 2π/3, ...). La decomposizione di un fenomeno periodico qualunque in fenomeni periodici elementari (che sono quelli corrispondenti ai termini y₁, y₂, ... della serie di F.), è l'oggetto della cosiddetta analisi armonica. Praticamente, quando della funzione f(x) si possiede la grafica, i coefficienti della sua serie di Fourier possono ottenersi mediante uno strumento detto analizzatore armonico, del quale la prima idea è di J. Amsler (1856). Sempre dal punto di vista pratico, siccome i coefficienti a_n e b_n vanno diventando infinitamente piccoli col crescere di n, i termini della serie di F., da un certo punto in poi, risultano trascurabili.

Generalizzazioni. - La teoria delle serie di F. non si limita alle funzioni di una sola variabile, ma si estende anche a quelle di due, tre, ... variabili. Si hanno così le serie doppie, triple, ... di F. Nell'ultimo trentennio hanno assunto pure grande importanza gli sviluppi in serie di funzioni ortogonali, che costituiscono una generalizzazione di quelle di F.; e recentemente, per opera soprattutto di H. Bohr, matematico danese, si è formata, come altra generalizzazione delle serie di F., la teoria delle funzioni quasi-periodiche.

Bibl.: Una biografia del F. è compresa nelle Øuvres di Arago, voll. 16, Parigi 1854-1859. Sulla serie di F. v.: A. Sachse, Versuch einer Geschichte der Darstellung willkürlicher Functionen einer Variabeln durch trigonometrischen Reihe, Gottinga 1879 (v. anche trad. francese in Bulletin des Sciences Mathématiques, s. 2ª, IV, 1880); U. Dini, Serie di Fourier, e altre rappresentazioni analitiche delle funzioni di una variabile reale, Pisa 1880; id., Sugli sviluppi in serie per la rappresentazione analitica delle funzioni di una variabile reale, date arbitrariamente in un certo intervallo, Pisa 1911; W. E. Byerly, An elementary Treatise on Fourier' Series, and Spherical, Cylindrical, and Ellipsoidal Harmonics, with Applications to Problems in Mathematical Physics, Boston 1893; H. Lebesque, Leçons sur les séries trigonométriquers, Parigi 1906; L. Schlesinger e A. Plessner, Lebesguesche Integrale und Fourierschen Reihen, Berlino 1926; E. W. Hobson, The Theory of functions of a real variable and the Theory of Fourier's Series, 2ª ed., voll. 2, Cambridge 1921-1926; L. Tonelli, Serie trigonometriche, Bologna 1928; G. Prasad, Six lectures on recent researches in the Theory of Fourier Series, Calcutta 1928; M. Lecat, Bibliographie des séries trigonométriques, Louvain 1921, e anche, dello stesso autore, Bibliographie de la rélativité, Bruxelles 1924.