iperpiano

iperpiano

Concetto geometrico che rappresenta l’estensione a spazi a più dimensioni dei concetti di retta e di piano. In uno spazio a due dimensioni, una retta è l’insieme dei punti (x, y) che soddisfano un’equazione lineare del tipo y=a+bx. In uno spazio a 3 dimensioni, la generalizzazione della retta è il piano, cioè l’insieme dei punti (x₁, x₂, y) che soddisfano un’equazione lineare del tipo y=a+a₁x₁+a₂x₂. In uno spazio a k+1 dimensioni, un i. è l’insieme dei punti (x₁, x₂, …, x_k, y) che soddisfano un’equazione lineare del tipo y_k=a₀+a₁x₁+…+a_kx_k.

Poiché un i. è l’insieme dei punti le cui coordinate soddisfano una equazione lineare, si ha che se due punti P₁ e P₂ giacciono sull’i., allora qualsiasi combinazione lineare dei due punti, a P₁+b P₂ giace ancora sull’iperpiano. Dato uno spazio vettoriale di dimensione k+1 (➔ spazio matematico), un i. è un sottospazio vettoriale a dimensione k.

Il seguente risultato, chiamato teorema di Hahn-Banach, è anche noto con il nome di teorema dell’i. separatore. Siano X uno spazio vettoriale normato su ℜ, A e B due sottoinsiemi non vuoti, convessi e disgiunti (la cui intersezione è un insieme vuoto) di X e si supponga che almeno uno di essi sia aperto, allora esiste un i. che separa A e B.

Un modello di regressione lineare con k regressori e un’intercetta, se si ignora il termine di errore, definisce un i. sullo spazio di dimensione k+1, dove un generico punto del piano P=(y, x₁, …, x_k) rappresenta il valore della variabile dipendente e dei k regressori. Questa osservazione riconduce all’interpretazione geometrica del metodo dei minimi quadrati (➔ minimi quadrati, metodo dei).