INVILUPPO

INVILUPPO

1. Si consideri un sistema di curve piane C_t

dipendenti da un parametro arbitrario t variabile in un intervallo (t₀, t₁) che può essere anche tutto l'asse reale (− ∞, + ∞). Se esiste una curva Γ, tale che ogni C_t sia tangente in un suo punto alla Γ e, viceversa, la Γ sia in ogni suo punto, toccata da una C_t la Γ si dice la curva inviluppo o semplicemente l'inviluppo delle curve C_t (figura 1). Così, ad es., in un piano il sistema di tutte le circonferenze di egual raggio r, aventi il centro su una retta, ammette per inviluppo la coppia delle rette distanti di r dalla retta dei centri. E per avere un esempio più generale e, al tempo stesso, più semplice, basta pensare tutte le tangenti a una qualsiasi curva piana C, le quali hanno come inviluppo la stessa curva C. Se x e y sono le coordinate cartesiane del punto corrente sull'inviluppo Γ, supposto esistente, le equazioni parametriche di Γ (in cui si può sempre supporre che il parametro sia t) sono della forma

e si dimostra che le funzioni ϕ e ψ vi debbono soddisfare identicamente, cioè per qualsiasi valore di t, non solo l'equazione (1), ma altresì l'equazione che si deduce da questa per derivazione rispetto a t

Inversamente, se l'equazione (1′) implica il parametro t e si procede all'eliminazione di questo dalle (1), (1′), si ottiene un'equazione

la quale rappresenta una curva, detta curva discriminante del sistema (1), che, in generale, è costituita dall'insieme dell'inviluppo Γ di (1) e di un'altra curva luogo di punti singolari delle C_t, cioè di punti, le cui coordinate soddisfano oltre la (1), le equazioni

Un'analisi va fatta caso per caso per stabilire quale parte della curva discriminante costituisca effettivamente l'inviluppo l'; se si sa a priori che le C_t non hanno punti singolari, la curva discriminante è senz'altro l'inviluppo. Così, ad es., dato un sistema di rette dipendente dal parametro t

(in cui almeno uno dei coefficienti a, b, c è funzione di t), l'eliminazione di t dalla (4) e dall'equazione

(dove a′, b′, c′ sono le derivate di a, b, c rispetto a t) conduce all'inviluppo delle rette del sistema.

Invece la curva discriminante del sistema di curve

è costituita dalle tre rette parallele y = − 1, y = 0, y = 1, di cui la prima e la terza costituiscono l'inviluppo, mentre la seconda è luogo di nodi delle curve date.

Quando l'inviluppo Γ del sistema (1) esiste, si dimostra che, considerate le curve C_t e C_t+Δt di (1) corrispondenti a due diversi valori t e t + Δt del parametro, il punto di contatto P_t di C_t con Γ è la posizione limite, quando Δt tende a zero, di un punto comune a C_t e C_t+Δt. Usando il linguaggio infinitesimale, si può dire che due curve infinitamente vicine del sistema si intersecano sull'inviluppo (o sulla curva discriminante).

Talvolta l'equazione del sistema di curve è della forma

cioè involge due parametri t, u legati fra loro da una relazione

In tal caso, nell'ipotesi che la (6) sia atta a definire il parametro u in funzione di t, il primo memhro di (5) risulterà dipendente oltre che da x ed y, soltanto da t e si ritorna così alle considerazioni istituite per la (1). Per la ricerca della curva discriminante, si associano alle (5), (6) le equazioni ottenute da queste derivando rispetto a t, tenendo conto che la u dipende da t a norma della (6)

e si procede all'eliminazione di t, u, du/dt.

2. La teoria degl'inviluppi riceve importanti applicazioni nella cinematica, e precisamente nello studio dei moti rigidi piani. Così, quando una figura piana si muove in un piano, esiste una curva l, collegata con la figura mobile (detta rulletta) che rotola, senza strisciare, sul suo inviluppo λ (detto base). In ogni istante t, il punto della rulletta comune alla base (punto di contatto) è il centro istantaneo di rotazione. Le l e λ diconsi traiettorie polari (v. cinematica, n. 28). Se si considera poi una qualsiasi curva C collegata rigidamente con la figura mobile, essa inviluppa una curva Γ e il punto, in eui la C tocca Γ all'istante t, è il piede della normale condotta alla curva C dal centro istantaneo di rotazione. Le curve C e Γ si dicono l'una il profilo coniugato dell'altra e la loro considerazione è particolarmente importante dal punto di vista delle applicazioni.

Per intender ciò, si tenga presente che ogni moto rigido piano è attuabile mediante il rotolamento, senza strisciamento, della rulletta sulla base, ma che non sempre, in ordine alle esigenze pratiche, è conveniente realizzare il moto ricorrendo alle traiettorie polari. Si ricorre allora ai profili coniugati, osservando però che la loro assegnazione non definisce completamente l'andamento del moto, e che inoltre, dal punto di vista meccanico, non è possibile evitare le influenze passive dovute all'attrito radente, il quale è tanto più rilevante quanto maggiore è lo strisciamento relativo dei due profili. In cinematica si dà un metodo, detto epicicloidale, che genera coppie di profili coniugati quando si conoscano le traiettorie polari.

Per illustrare quanto precede, poniamoci il problema dello studio del moto di un'asta rigida scorrevole tra guide rettilinee e, supposto, per semplicità, che queste siano tra loro ortogonali, determiniamo dapprima l'inviluppo delle successive posizioni dell'asta (vedi ellissografo). Schematizziamo l'asta in un segmento rettilineo AB e assumiamo le guide rettilinee quali assi coordinati di un sistema cartesiano (ortogonale) Oxy (figura 2). Dette a, t, u rispettivamente le lunghezze di AB, OA, OB, l'equazione della retta AB è

e i parametri t, u sono legati dalla relazione u² + t² − a² = 0.

Applicando la regola indicata sopra, si dovrà procedere all'eliminazione di t, u, du/dt, tra queste due equazioni e le seguenti

Così facendo, si perviene alla curva algebrica x^⅔ + y^⅔ = a^⅔ (astroide), di cui il solo ramo appartenente al quadrante delle coordinate x, y non negative è l'inviluppo del segmento AB, nel caso in cui l'ascissa di A e l'ordinata di B siano non negative. Il centro istantaneo di rotazione I del moto (rigido) dell'asta AB è comune alla normale all'asse x in A e alla normale all'asse y in B; e si riconosce che la rulletta l, luogo delle successive posizioni assunte da I nel piano mobile p, collegato rigidamente all'asta, è la circonferenza circoscritta al triangolo OAB, mentre la base λ, luogo delle successive posizioni assunte da I nel piano Oxy fisso, è la circonferenza avente il centro in O e il raggio a. La circonferenza λ è l'inviluppo della circonferenza l e il punto di contatto di questa con λ è il centro istantaneo di rotazione A Se si vuole avere una riprova analitica di questo fatto, basta scrivere l'equazione del sistema delle posizioni assunte, istante per istante, dalla rulletta

in cui naturalmente i parametri t, u sono legati dalla solita relazione u² + t² − a² = 0. Applicando la regola del n. 2 si trova appunto x² + y² = a² che è l'equazione della base.

3. Le considerazioni del n. 1 si estendono allo spazio. Dato un sistema di superficie σ_t

se esiste una superficie Σ, tale che ogni σ_t la tocchi lungo una curva γ_t e, viceversa, per ogni punto di Σ passi una curva γ_t, lungo cui è toccata da una σ_t, la Σ si dice superficie inviluppo o semplicemente inviluppo del sistema (8), mentre la γ_t si dice la caratteristica di σ_t. Questa γ_t è la posizione limite di tutta, o parte, l'intersezione della σ_t con la σ_t+Δt al tendere a zero di Δt. Dato un sistema di superficie σ_t,u,

dipendente da due parametri t, u, non può esistere un inviluppo nel senso testé dichiarato, ma può invece esistere una superficie S tale che ogni σ_t,u la tocchi in uno o più punti, e, viceversa, in ogni suo punto sia toccata da una σ_t,u. Anche in tal caso S si dice inviluppo del sistema. Si dimostra che nel primo caso su Σ deve essere soddisfatta, insieme con la (8), l'equazione

nel secondo caso su S debbono essere soddisfatte, insieme con la (9), le equazioni

Inversamente, eliminando dalle (8), (8′) (o (9), (9′)) il parametro t (o i parametri t, u) si ottiene una superficie che, in generale, costituisce in parte l'inviluppo del sistema e in parte è luogo di punti singolari delle singole superficie del sistema stesso.

Ogni superficie Σ è l'inviluppo dei suoi piani tangenti, i quali costituiscono, in generale, un sistema di piani dipendente da due parametri; così per una sfera o per un iperboloide. Talvolta questo sistema dipende da un solo parametro, e allora ogni piano tangente tocca la superficie Σ lungo una linea; così per un cono o cilindro.

La superficie inviluppo Σ di un sistema di piani dipendente da un solo parametro

si dice una sviluppabile, perché può essere applicata su un piano senza strappi né duplicature; e si dimostra che ogni superficie siffatta può essere definita come la superficie generata dalle tangenti a una curva sghemba Γ, detta spigolo di regresso della Σ. Inversamente, la superficie generata dalle tangenti a una curva sghemba Γ è una superficie sviluppabile e risulta l'inviluppo dei piani osculatori a Γ.

Questo modo di generazione pemiette di farsi un'idea precisa della forma della superficie. Invero, considerato un arco P₀P₁ di Γ, conduciamo per ogni suo punto P la semiretta tangente di verso concorde al verso da P₀ a P₁ dell'arco. Il luogo di queste semirette è una falda Σ₁ di superficie sviluppabile limitata dall'arco P₀P₁ e dalle tangenti in P₀ e P₁. Il luogo delle semirette di verso opposto è un'altra falda Σ₂ che si raccorda con Σ₁ lungo P₀P₁. Ogni piano passante per un punto P dell'arco interseca le due falde Σ₁, Σ₂ secondo due rami di curva che si raccordano in P e di cui P costituisce una cuspide. Ecco ia ragione della qualifica di spigolo di regresso attribuito alla curia Γ.

4. Dato un sistema di curve sgnembe C_t dipendenti da un paranetro

non esiste, in generale, inviluppo, cioè una curva Γ che sia tangente a ogni curva del sistema. Affinché ciò sia, è necessario che sia compatibile il sistema di equazioni

inversamente, se queste ammettono, per ogni valore di t, una soluzione x, y, z, il luogo dei punti (x, y, z) è una curva Γ, tangente a ogni curva del sistema, a meno che il punto (x, y, z) non sia singolare per la C_t corrispondente. Se le C_t sono le caratteristiche di un sistema di superficie, cioè rappresentate dalle equazioni

si avrà l'inviluppo di tali C_t (o un eventuale luogo di punti singolari) associando a queste la sola equazione

Si ha così lo spigolo di regresso del sistema di superficie considerato, che generalizza l'analogo elemento relativo a una superficie sviluppabile.

5. In cinematica, considerato un moto M di un sistema rigido S, accade, in generale, che l'asse del moto elicoidale tangente a M all'istante t cambii di posizione, al variare di t, sia rispetto ad un osservatore fisso che ad un osservatore rigidamente collegato con S (v. cinematica, n. 27). Esiste quindi una superficie rigata L collegata con S che si raccorda con una superficie rigata Λ fissa lungo l'attuale posizione dell'asse di moto, essendo le L e Λ descritte dall'asse di moto. In altri termini, la rigata Λ è l'inviluppo della rigata L, ma, per generare il moto M non basta far rotolare L su Λ, bensì occorre associare al rotolamento un opportuno strisciamento dell'una sull'altra lungo la generatrice comune. Se il sistema S è fissato in un punto, Λ ed L si riducono a due coni (detti del Poinsot) e il secondo inviluppa il primo mediante puro rotolamento.

6. In ottica geometrica, si è condotti a considerare inviluppi di sistemi di circonferenze, per es., nella costruzione delle cosiddette caustiche per rifrazione. Si consideri una circonferenza, variabile nel piano in modo che il centro M₀ (α, β) descriva una data curva C di equazioni parametriche α = α (t), β = β (t) e il raggio risulti proporzionale alla distanza OM₀ del centro M₀ da un punto fisso O. Assunto questo punto come origine delle coordinate e indicato con k il rapporto della proporzionalità or ora considerata, si ha come equazione del sistema delle ∞¹ circonferenze così definite la

Derivandola rispetto a t si ottiene:

e questa, per ogni valore di t, è l'equazione della retta che interseca la corrispondente circonferenza nei punti N, N′ di contatto con l'inviluppo. Se diciamo δ e δ′ le distanze di M₀ dalla detta retta e dalla parallela a questa condotta per O, la (12) dà δ = k²δ′ (si tenga presente che α′ e ?β′ sono proporzionali ai coseni direttori della tangente in M₀ alla curva descritta da M₀ stesso e che la (12) è perpendicolare a questa tangente); cosicché per costruire la retta (1z) basta prendere sul raggio OM₀ il punto P, per cui è M₀P = k • M₀O ed abbassare da P la perpendicolare sulla tangente alla curva descritta dal centro M₀ (figura 3). Se i ed r sono gli angoli che la normale M₀I fa rispettivamente con M₀O ed M₀N, si ha, nell'ipotesi k 〈 1,

Allora, se O è un centro luminoso e la curva C separa due mezzi tali che il rapporto dell'indice di rifrazione di quello, cui non appartiene O, all'altro sia 1/k, il raggio incidente OM₀ dà luogo al raggio rifratto M₀Q, prolungamento di NM₀. I raggi rifratti sono dunque normali all'inviluppo Γ che dicesi caustica secondaria per rifrazione. La caustica propriamente detta, inviluppo dei raggi rifratti, è l'evoluta (v.) o sviluppata della caustica secondaria.