integrale

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integrale [s.m. e agg. Der. del lat. integralis, da integer "intero"] [LSF] Relativo alla considerazione di una totalità di elementi o che concorre alla costituzione di questa totalità. ◆ [ANM] Il procedimento in cui si traduce l'operazione di integrazione (←) e il risultato di esso. ◆ [ANM] I. abeliano: v. superfici di Riemann: V 5 d. ◆ [ANM] I. completo: v. meccanica analitica: III 656 b. ◆ [ANM] I. curvilineo di una funzione: per una funzione f(x,y,...) di più variabili, definita in una certa regione, relativ. a un arco di curva C nella regione, è il limite ∫Cf(x,y,...)ds delle somme dei prodotti della lunghezza ds di archetti in cui C può essere arbitrariamente scomposto per uno qualunque dei valori che la f può assumere in ogni archetto. ◆ [ANM] I. curvilineo di un vettore v: relativ. a un arco di curva orientato C, è l'operazione ∫Cv✄ds=∫C(Xdx+Ydy+Zdz), dove X e dx, Y e dy, Z e dz sono le componenti di v e ds secondo gli assi di riferimento x,y,z, rispettiv., interpretabile come il limite della somma dei prodotti scalari dello spostamento elementare ds per la determinazione di v in un punto qualunque di tale spostamento, al tendere di ds a zero. Se C è una curva chiusa, si parla propr. di circuitazione. Questa nozione di i. curvilineo può essere estesa a una forma differenziale lineare, espressa dalle funzioni X, Y, Z. ◆ [ANM] I. definito: data una funzione y=f(x) definita in un certo intervallo (a,b) limitato e continua in essa, scomposto tale intervallo in intervallini (uguali o disuguali) di ampiezza arbitraria δi e indicando con Mi e mi il valore massimo e quello minimo assunto dalla y nel generico intervallino, è il limite comune Iab, se esiste, cui tendono, per il tendere di δ a zero, le due somme M₁δ₁+M₂δ₂+... e m₁δ₁+m₂δ₂+..., e si scrive: Iab=∫ab f(x)dx; si chiamano f(x) funzione integranda, o integrando (s.m.), x variabile d'integrazione, dx differenziale d'integrazione, (b-a) intervallo, o campo, d'integrazione, con a,b estremi d'integrazione. La fig. mostra l'interpretazione geometrica di tale operazione: i termini delle dette somme in M e m rappresentano l'area dei rettangoli (propr. scaloidi) circoscritti e inscritti, rispettiv., nel diagramma cartesiano della y, per cui Iab rappresenta l'area del rettangoloide limitato dal-l'asse delle x, dalle rette x=a, x=b e dalla curva rappresentativa della y nell'intervallo (a,b). Come ancora mostra la fig., tale area si può esprimere come 〈y〉(b-a), essendo 〈y〉 il valor medio della y nell'intervallo considerato, cioè come l'area del rettangolo che ha come lato superiore la retta di compenso del detto rettangoloide, y=〈y〉 (teorema della media, o del valor medio, i.); ciò giustifica il nome di quadratura dato spesso all'operazione di integrazione definita. L'i. Iab può anche ottenersi (teorema di Darboux) come limite, per δ che tende a zero, della somma δ₁f(x₁)+δ₂f(x₂)+..., essendo x₁, x₂,... un valore qualunque della x in ogni intervallino. Un terzo modo per calcolare un i. definito è di considerarlo come differenza tra i valori dell'i. indefinito della funzione (v. oltre) relativi ai due estremi dell'intervallo d'integrazione. Ricordiamo che il segno ∫ con cui si denota qualunque tipo d'i., proposto da G.W. Leibniz, è una deformazione della lettera S, iniziale di Summa integralis, locuz. con cui si designò all'inizio l'integrazione definita. ◆ [MCC] I. dell'energia, o delle forze vive, e i. delle aree: denomin. della formulazione analitica, rispettiv., del teorema della conservazione della quantità di moto e del teorema della conservazione del momento della quantità di moto: v. dinamica: II 178 f. ◆ [MCC] I. del moto: v. meccanica classica: III 683 e. ◆ [ANM] I. di campo: lo stesso che i. multiplo (v. oltre). ◆ [FPL] I. di conducibilità: v. fusione termonucleare controllata: II 796 e. ◆ [ANM] I. di linea: lo stesso che i. curvilineo (v. sopra). ◆ [PRB] I. di linea stocastico: v. geometria differenziale stocastica: III 38 d. ◆ [ANM] I. diretto: v. Hartree-Fock, metodo di: III 148 c. ◆ [MCQ] I. di scambio: v. Hartree-Fock, metodo di: III 148 c. ◆ [ANM] I. di superficie: lo stesso che i. superficiale (v. oltre). ◆ [ANM] I. di un'equazione differenziale o di un siste-ma di equazioni differenziali: lo stesso che soluzio-ne dell'equazione o del sistema di equazioni differenziali. ◆ [MCS] I. di urto: v. gas, teoria cinetica dei: II 822 f. ◆ [ANM] I. doppio: v. oltre: I. multiplo. ◆ [ANM] I. funzionale: lo stesso che i. sui cammini (v. oltre). ◆ [ANM] I. generalizzato: lo stesso che i. improprio (v. oltre). ◆ [ANM] I. improprio: un i. definito di una funzione che diventa infinita per uno degli estremi d'integrazione (per es., ∫₀1(1/x)dx) oppure un i. definito avente l'infinito come uno degli estremi d'integrazione (quindi, i. del tipo ∫-∞a , ∫a+∞, ∫-∞+∞); si calcolano mediante opportuni passaggi al limite. ◆ [ANM] I. indefinito: per una funzione f(x) di una sola variabile x, è l'insieme di tutte le funzioni primitive della y, cioè di tutte le funzioni, differenti tra loro per una costante additiva, la cui derivata sia data dalla f(x); se F(x) è una di tali funzioni, si può scrivere: ∫f(x)dx=F(x)+cost (come si vede, c'è una sorta di inversione tra le operazioni di integrazione definita e di derivazione). Se si escludono le funzioni elementari, il calcolo degli i. indefiniti è in genere piuttosto arduo e in molti casi possibile soltanto per approssimazione. ◆ [ANM] I. inferiore: v. misura e integrazione: IV 4 a. ◆ [ANM] I. multiplo: generalizzazione dell'operazione di i. definito (v. sopra) a funzioni di più di una variabile (rispettiv., i. doppio per due variabi-li, i. triplo per tre variabili, ecc.). Suscettibile di un'interpretazione geometrica nello spazio ordinario è soltanto l'i. doppio, relativo a una funzione z=f(x,y) definita in una data regione, come volume del cilindroide limitato, come mostra la fig., dal piano xy, dalla superficie cilindrica a generatrici ortogonali a detto piano per il contorno della regione e dalla superficie rappresentativa della funzione z. ◆ [ANM] I. primo: quantità che rimane costante lungo le soluzioni di un'equazione differenziale; sono esempi di i. primi l'i. delle aree e l'i. dell'energia (v. sopra). ◆ [ANM] I. singolare: di un'equazione differenziale è un i. dell'equazione che non sia un caso particolare dell'i. generale. Per es., l'equazione y'2=4y ammette l'i. generale y=(x-c)2, quindi gli i. particolari costituiscono la famiglia di parabole corrispondenti ai valori reali di c; ma ammette anche l'i. singolare y=0, asse delle x. Come nell'esempio riportato, l'i. singolare è, in generale, la curva inviluppo degli i. particolari. ◆ [PRB] I. stocastico: v. processi stocastici: IV 608 d. ◆ [MCQ] I. sui cammini: espressione delle ampiezze di probabilità di transizione di un sistema quantistico come somma su tutte le possibili traiettorie dello stesso nello spazio delle configurazioni, ciascuna pesata con il fattore exp(iS/ℏ), ove S è l'azione della traiettoria considerata e ℏ la costante di Planck ridotta. Tale nozione, indicata anche come i. funzionale, fu introdotta per la prima volta negli anni '20 da N. Wiener in certi problemi di diffusione e per discutere il moto browniano: v. integrale sui cammini. ◆ [ANM] I. superficiale: è l'analogo dell'i. curvilineo per una funzione f oppure per un vettore (in generale, per una forma differenziale bilineare), esteso però a una superficie S: ∫Sf dS, ∫Sv✄n dS=∫S(Xdxdy+ Ydxdy+Zdxdy); quest'ultimo rappresenta il limite, per dS che tende a zero, del prodotto dell'area degli elementi in cui si può arbitrariamente scomporre S per la componente di v secondo la normale n a ciascuno di detti elementi ed è il flusso del vettore v attraverso la superficie S. ◆ [ANM] I. superiore: v. misura e integrazione: IV 4 a. ◆ [ANM] Calcolo i.: quella parte dell'analisi infinitesimale che è fondata sull'operazione di integrazione, così come il calcolo differenziale è fondato sul-l'operazione di derivazione; il problema classico da cui è nato è la determinazione di aree e volumi di figure qualsiasi, mentre il calcolo differenziale ha preso le mosse dalla determinazione della pendenza della tangente a una curva in un suo punto; il calcolo i. e quello differenziale sono, almeno in senso classico, complementari, in quanto le operazioni di integrazione e di derivazione sono inverse l'una dell'altra (v. sopra: I. indefinito). Si chiama formula fondamentale del calcolo i. la formula che consente il calcolo di un i. definito come differenza tra i valori dell'i. indefinito della funzione integranda calcolati negli estremi dell'intervallo di integrazione: ∫abf(x)dx=F(b)-F(a). ◆ [ANM] Equazione i.: un'equazione avente per incognita una funzione che compare come integrando di un'integrazione: v. equazioni integrali. ◆ [ANM] Parte principale, o valore principale, di un i.: nel procedimento che si attua per integrare una funzione che presenti uno o più valori singolari nel campo d'integrazione, è l'integrale della parte del campo al di fuori di questi valori, per i quali ultimi si attuano passaggi al limite; per es., v. distribuzioni, teoria delle: II 221 e.