INTEGRALE ARMONICO
INTEGRALE ARMONICO
Le forme armoniche e i loro i. sono ampie generalizzazioni delle fuuzioni armoniche, come sono intese nella teoria classica delle funzioni; queste, com'è ben noto, sono quelle funzioni f(x, y,...) di più variabili che, in una conveniente regione dello spazio euclideo, soddisfano l'equazione differenziale di Laplace,
Allo scopo di ottenere la voluta generalizzazione, gli elementi sui quali si fa leva sono: l'ambiente nel quale gli enti armonici saranno definiti, gli enti stessi, le condizioni che sostituiranno l'equazione di Laplace. Nel 1940 (v. anche varietà, in App. II, 11, p. 1089, e in questa App.) W.V.D. Hodge ha introdotto le forme armoniche come quelle appartenenti ad una particolare classe di forme differenziali esterne, chiuse, definite sopra una varietà riemaniana compatta orientabile. La teoria di tali forme presenta notevoli analogie formali con la teoria delle funzioni armoniche, specialmente nel campo complesso, e con la teoria del potenziale nella fisica matematica; da ciò il loro nome, nonché quello di teoria generalizzata del potenziale per la teoria che di esse tratta. Si dicono poi tensori armonici i tensori dei coefficienti delle forme armoniche, e i. armonici, o i. di Hodge, i loro integrali.
I concetti essenziali che permettono di dare la definizione di forme armoniche e delle loro estensioni sono: a) una varietà M di dimensione n e di classe u, compatta, orientabile, dotata di una metrica riemanniana gijdxidxj; i tensori Tab...pq... definiti su M, con le loro operazioni fondamentali; in particolare, si indicherà con Tab...pq...k, la derivata covariante di T, e con δab...cde...f il tensore di Kronecker (le cui componenti valgono 1, − 1,0 a seconda che ab... c sia una permutazione pari di de...f, oppure una permutazione dispari, oppure non sia una loro permutazione; b) le forme differenziali esteme di grado p:
definite su M, con le loro operazioni fondamentali; in particolare la derivata esterna di H si denoterà con dH; c) una reticolazione simpliciale di M e le sue principali proprietà topologiche (v. topologia in questa App.). Per forma armonica su M si intende una forma differenziale estema H, di grado p (0 ≤ p ≤ n) (e di classe u − 3), regolare su tutta M, la quale soddisfi una delle due seguenti condizioni equivalenti: (I) H e la sua forma duale H* sono chiuse. Con ciò si intende che dH = 0 e dH* = 0; come forma duale, o aggiunta di H (fornita dalla formula data sopra) si intende la (n − p)-forma H* i cui coefficienti sono dati dal tensore
ove gjk è definito dalla condizione gjk gki = δji e Det gij = g. (II) H soddisfa l'equazione generalizzata di Laplace ΔH = 0, ove l'operatore Δ è definito da Δ = dδ + δd, essendo δ l'operatore che indica la coderivazione esterna: δH = (− 1)np+n+1 (dH*)*. La proprietà fondamentale delle forme armoniche è il teorema di esistenza di Hodge, secondo il quale esiste un i. armonico di grado p che ammette preassegnati periodi sopra Bp cicli indipendenti, di dimensione p, di M. Con Bp si è indicato il p-esimo numero di Betti di M (v. topologia, in questa App.) e per periodo di H sopra un p-ciclo C s'intende il valore dell'integrale ∉CH. Tale teorema è poi connesso con i due teoremi di de Rham sulle forme differenziali e sui loro periodi. Un altro risultato degno di nota è che le condizioni per H che compaiono nella def. (I) si possono esprimere, in forma equivalente, per mezzo delle equazioni
La def. (II), che è equivalente alla def. (I) sopra una varietà compatta orientabile, è adottata da G. de Rham allo scopo di definire le forme armoniche, in un'accezione più generale, quando la varietà non sia compatta ovvero non sia orientabile; nel secondo caso è particolarmente utile l'introduzione delle forme di specie pari o dispari; le prime corrispondono ai tensori nel senso ordinario, nelle seconde si tiene conto dei mutui orientamenti degli intorni sulla varietà. Un altro strumento formale usato sistematicamente da G. de Rham e K. Kodaira, e introdotto da L. Schwartz e G. de Rham, in tali generalizzazioni, è il concetto di corrente, che riassume le principali proprietà, formalmente analoghe tra loro, delle forme differenziali, rispetto alle operazioni di aggiunzione e di derivazione, e delle catene e cocatene, rispetto alle operazioni di dualizzazione e di passaggio al contorno e al cocontorno.
Numerose e proficue sono le applicazioni della teoria degli integrali armonici. Ci limitiamo a menzionare talune direzioni, quali lo studio degli invarianti integrali delle varietà di gruppo, lo studio delle proprietà topologiche e trascendenti delle varietà algebriche, la teoria delle funzioni analitiche sulle varietà compatte complesse, lo studio delle varietà quasi complesse.
Bibl.: W. V. D. Hodge, The theory and applications of harmonic integrals, Cambridge 1941; G. de Rham e K. Kodaira, Harmonic integrals, Princeton 1950; D. C. Spencer, Potential theory and almost complex manifolds, University of Michigan 1955.