insieme limitato
insieme limitato
insieme limitato nell’ambiente Rn, è un insieme E ⊆ Rn contenuto in una sfera di raggio r arbitrario. Ogni insieme finito è limitato, ma non viceversa (per esempio, nella retta reale, un segmento è un insieme limitato di punti, ma non finito). Una definizione che si adatta a sottoinsiemi di un generico spazio vettoriale topologico è la seguente: E è limitato se, per ogni intorno V dell’origine, esiste r > 0 tale che E ⊆ tV per ogni t > r. Un insieme che non è limitato si dice illimitato: in tal caso per ogni intorno V dell’origine esiste un elemento x ∈ EV. Nel caso n = 1, essendo R ordinato, è possibile introdurre le nozioni di insieme limitato superiormente o inferiormente. Un insieme E ⊆ R si dice superiormente limitato se esiste una costante b, detta maggiorante di E, tale che per ogni x ∈ E risulti x < b. Il minimo dei maggioranti si chiama estremo superiore di E. Analogamente si definisce un insieme limitato inferiormente. Un insieme E ⊆ R è limitato se e solo se lo è sia superiormente che inferiormente, vale a dire se è contenuto in un intervallo (a, b). Un insieme illimitato di R contiene una successione divergente all’infinito.