INGRANAGGI

INGRANAGGI (fr. engrenages; sp. engranajes; ted. Zahnwerk; ingl. toothed gearings, gears)

Sono meccanismi che risolvono in modo completo e con buon rendimento il problema della trasmissione del movimento e del lavoro tra due alberi che ruotano con verso costante. Hanno un impiego diffusissimo e quasi esclusivamente nel caso in cui il rapporto di velocità fra i due alberi è costante. Il loro campo di applicabilità non ha limiti, sia per ciò che riguarda la velocità, sia per ciò che riguarda la potenza: si passa da ruote lentissime (pochi giri al minuto), come nel caso di trasmissione per impianti di sollevamento con motori animati, o per ruote dentate solidali con ruote idrauliche, a ruote velocissime (qualche migliaio di giri al minuto) come nel caso di ruote dentate di automobili, o di ruote dentate dei riduttori marini. Per quanto riguarda la potenza si passa da valori pressoché nulli (ruote dentate degli orologi) a valori di qualche migliaio di cavalli, nelle trasmissioni tra l'albero d'una turbina a vapore e l'albero d'un alternatore, o tra l'albero d'una turbina a vapore marina e l'albero dell'elica.

Gli assi di rotazione delle ruote dentate possono essere paralleli (ruote dentate cilindriche); concorrenti (ruote dentate coniche); sghembi (ruote dentate elicoidali): un caso particolare in cui gli assi sghembi sono normali e si ha un grande rapporto di velocità, è dato dall'imboccamento a vite perpetua.

Ruote dentate cilindriche. - Sono formate da un disco o da una corona munita di sporgenze periferiche tutte uguali (denti) di forma e dimensioni tali che quelle dell'una possano penetrare nelle rientranze formate da quelle dell'altra, cosicché il movimento viene a effettuarsi per effetto dell'appoggio mutuo di una o più coppie di denti.

I profili dei denti debbono essere studiati in modo che il movimento delle due ruote avvenga come se esse fossero di profilo circolare e le due circonferenze rotolassero l'una sull'altra senza strisciare. Queste due circonferenze fondamentali si dicono periferie primitive e con i loro raggi r_a e r_b definiscono il rapporto delle velocità angolari ω_a e ω_b dei due alberi secondo la relazione:

Se le due periferie primitive sono tangenti esternamente, si ha l'imboccamento cilindrico esterno, rappresentato nella fig. 1; se sono tangenti internamente, si ha invece l'imboccamento cilindrico interno, rappresentato nella figura 2. Nel primo caso le ruote hanno velocità angolare di senso contrario, ossia ruotano in senso opposto; nel secondo caso ruotano nel medesimo senso.

Quando una delle due ruote ha un raggio infinitamente grande si ha la trasmissione tra ruota e dentiera (fig. 3); il movimento della dentiera è naturalmente un movimento di traslazione invece che di rotazione.

La velocità v di un punto qualunque di una delle periferie primitive (uguale a quello di un punto qualunque dell'altra) si chiama velocità periferica della ruota dentata, ed è data da:

essendo n_a e n_b il numero dei giri al minuto primo delle due ruote. Tra le velocità angolari ω e il numero dei giri delle due ruote valgono le relazioni:

Se i profili dei denti soddisfano alla condizione enunciata, si dicono profili coniugati. Si dimostra che, affinché ciò si avveri, è necessario che, in qualunque punto i due profili si tocchino, la normale comune ai due profili incontri la retta congiungente i centri sempre in un medesimo punto I (centro istantaneo di rotazione) che è poi il punto di contatto delle due primitive (fig. 4).

Se il punto di contatto fra i due denti in presa non coincide con il punto I, il movimento relativo non sarà più un semplice movimento di rotolamento, ma questo sarà accompagnato da uno strisciamento la cui velocità è misurata da (ω_a + ω_b) d nel caso dell'imboccamento esterno, o da (ω_a − ω_b) d nel caso dell'imboccamento interno. Questo strisciamento risulterà quindi tanto maggiore quanto più grande è la distanza d.

Siccome dallo strisciamento dipende la perdita di lavoro per attrito durante la trasmissione, e il consumo dei denti per il lungo funzionamento, ne deriva che conviene che i profili dei denti si allontanino al minimo dalla periferia primitiva: poiché i denti debbono avere una certa altezza affinché sia assicurata la continuità della trasmissione si dispone che i due profili si svolgano parte all'interno e parte all'esterno delle primitive.

Si dice cerchio di base dei denti quello p_b da cui essi si protendono sporgendo dalla corona; cerchio di testa quello p_t dove hanno termine; la distanza p tra gli assi di due denti consecutivi misurata sulla periferia primitiva dicesi passo; lo spessore s del dente sulla periferia primitiva è uguale a metà del passo per ruote costruite con grande precisione: è di poco inferiore a metà del passo per ruote non esattamente lavorate, come quelle ottenute per fusione.

Il rapporto p/π = m prende il nome di modulo della dentatura. Se z è il numero dei denti di una ruota valgono le relazioni:

I costruttori inglesi adoperano il diametral pitch (passo diametrale) che è l'inverso del modulo 1/m = π/p = 2 r/z. Esso esprime il numero dei denti per ogni pollice di diametro.

Si possono determinare i profili di due ruote dentate dando ad arbitrio uno di essi e derivando l'altro in conseguenza. Il Reuleaux ha dato un procedimento grafico generale il quale fornisce contemporaneamente anche la linea del contatto (luogo dei punti nei quali due denti si toccano nel periodo in cui sono in presa). Si preferisce però abitualmente adoperare dei profili notoriamente coniugati e perciò per la costruzione delle ruote dentate si usano quasi esclusivamente profili cicloidali e profili a sviluppante.

Profili cicloidali. - Date le primitive p_a e p_b si considerino due cerchi C e C′ tangenti a esse nel punto I. Si facciano rotolare questi due cerchi internamente ed esternamente alle due primitive (fig. 5). Il punto I descriverà allora due archi d'ipocicloide e due archi di epicicloide: si assuma come profilo del dente della ruota A l'arco di epicicloide e_a e l'arco d'ipocicloide i_a e come profilo del dente della ruota B l'arco di epicicloide e_b e l'arco di ipocicloide i_b: i due profili sono coniugati. Se M₂ e N₁ sono i punti esterni dei due profili, si trovino i punti C₂ e C₁ sui cerchi generatori facendo rispettivamente centro in A e in B con raggi AM₂ e BN₁. Facendo poi centro in A e B con raggi AC₁ e BC₂ si trovino i due punti dei due profili M₁ e N₂ che limitano la parte utile dei profili dei denti, poiché sono precisamente i punti M₁ e N₂ che vengono a contatto con M₂ e N₁ all'inizio e alla fine del periodo in cui i denti sono in presa. La linea C₂ IC₁ rappresenta la linea del contatto. Sviluppando questa linea su una delle periferie primitive si ottiene l'arco 12 che rappresenta il percorso compiuto da un punto della primitiva, mentre si svolge il contatto tra due denti: esso prende il nome di arco d'azione; perché vi sia continuità della trasmissione occorre che due denti vengano in presa prima che cessi il contatto dei due denti che li precedono, ossia che l'arco d'azione sia maggiore del passo; meglio ancora se l'arco d'azione è maggiore di due volte il passo con il che si è sicuri che vi sono sempre durante la trasmissione due coppie di denti in presa, il che assicura il funzionamento anche se si verifica la rottura di un dente.

Profilatura a caviglia. - È un caso particolare del precedente. Se si fanno coincidere i cerchi C con le primitive, i due archi di ipocicloide si riducono al punto I ed i due profili si riducono uno a un arco di epicicloide e al punto I, l'altro al punto I e all'altro arco di epicicloide. Si ha così la profilatura a punto. Se soltanto una delle circonferenze C coincide con la primitiva si ha la cosiddetta profilatura a caviglia, in cui una delle ruote presenta una serie di perni, o caviglie, di sezione circolare (fig. 6); costruttivamente la ruota è formata da due dischi paralleli sui quali sono incastrate le caviglie: per questa forma queste ruote sono state anche dette ruote a lanterna.

Norme di profilatura. - Data la grandissima diffusione delle ruote dentate, si è manifestata la necessità di perfezionarne la costruzione raggiungendo il massimo dell'esattezza, dell'economia, del rendimento e della durata. Per queste ragioni è stato quasi abbandonato, come meglio si vedrà in seguito (v. appresso: Costruzione) il metodo della costruzione di getto, e si adopera invece correntemente il metodo della costruzione a macchina, ricavando i denti da un disco pieno per mezzo di utensili speciali (frese). Per non dover disporre di un numero di utensili notevolmente grandi si sono adottate delle norme speciali per la profilatura e per gli elementi che la definiscono. Il profilo di un dente dipende essenzialmente dal modulo m, dal raggio w del cerchio generatore, e dal raggio r della ruota, ossia dal numero dei denti. Per ridurre perciò il numero di utensili si è stabilita una scala di moduli: il valore di m, per piccoli valori e precisamente fino a 6 mm. può variare di quarto in quarto di millimetro, al di sopra di 6 e fino a 16 mm. può variare di millimetro in millimetro. Si è inoltre fissata la sporgenza del dente (distanza fra la periferia di testa e quella primitiva) uguale al modulo m, e la sua rientranza (distanza tra la periferia primitiva e quella di base) uguale a 7/6 di m.

Per i profili cicloidali si è stabilito che i raggi dei cerchi generatori C e C′ siano dati da w = 3 m, per le ruote dentate costruite in Europa, e da w = 3,75 m per quelle costruite in America. Queste condizioni sono derivate dal numero minimo di denti fissato rispettivamente in 12 e 15 nei due casi, al di sotto dei quali i denti rimarrebbero troppo indeboliti nella sezione d'incastro della corona.

Tutte queste norme, oltre alla maggior semplicità d'impianti nella costruzione, portano alla conseguenza che due ruote dentate qualunque costruite secondo esse, possono correttamente imboccare tra di loro, purché abbiano il medesimo modulo.

Il diametro d_a della periferia primitiva, e il diametro esterno d_e sono dati dalle relazioni:

Essi sono espressi sempre da numeri razionali, e questo spiega perché sia stato considerato il modulo come elemento fondamentale per il progetto e il calcolo delle ruote dentate, invece del passo come si usava anticamente.

Profili a sviluppante. - Date le polari p_a e p_e delle due ruote, si tracci per I una retta r inclinata di un angolo α sulla retta dei centri (fig. 7). Si conducano i cerchi f_a e f_b di centri A e B tangenti a questa retta. Si faccia rotolare il segmento QI su f_a e il segmento Q′I su f_b. Il punto I descriverà due sviluppanti del cerchio che si assumono come profili dei due denti. La linea del contatto è la stessa retta r e la lunghezza della linea del contatto si ottiene determinando i punti C₁ e C₂ ottenuti facendo centro in A e B con raggi rispettivamente AP e BP′ essendo P e P′ gli estremi dei profili dei due denti. Se si fanno passare due sviluppanti per C₁ e C₂ si ottengono sulla f_a due punti C₁′ e C₂′: questo arco rappresenta il cammino percorso da un punto di f_a mentre dura il contatto di due denti: sulla periferia primitiva detto cammino sarà dato da:

e sarà l'arco d'azione.

Norme per i profili a sviluppante. - Per poter costruire le ruote dentate a sviluppante con un piccolo numero di denti senza che avvengano inconvenienti nella trasmissione (per interferenze dei due profili) occorrerebbe tenere α abbastanza piccolo; ma aumentandolo si ha d'altronde il vantaggio di aumentare l'arco d'azione e d'inclinare meno sulla tangente comune alle periferie primitive la pressione normale sui denti. Si assume normalmente per α il valore di 75°, e per ruote dentate a piccolo numero di denti si scende qualche volta a 70°: più raramente si assumono valori minori.

Per tutto il resto valgono le stesse norme già date trattando dei profili cicloidali.

I due profili descritti sono i più comunemente adoperati; più quelli a sviluppante che non quelli cicloidali. Il profilo cicloidale ha il vantaggio di dare dei denti più robusti alla base che non quelli a sviluppante e ha il vantaggio di mettere a contatto un profilo concavo con uno convesso, il che riduce il consumo. Il profilo a sviluppante ha il vantaggio di essere più semplice, perché formato di un solo arco, e quello assai importante di avere a parità di condizioni un arco d'azione più grande: mentre infatti nel profilo cicloidale nell'imboccamento di due ruote di 12 denti ciascuna l'arco d'azione è di 1,35 p, e nel caso di un numero grandissimo di denti tende a raggiungere il valore di 1,6 p con le regole europee e di 1,8 p con le regole americane, nel caso dei profili a sviluppante basta adoperare un numero di denti superiore p. es. a 25 e 50 per le due ruote per avere l'arco di azione superiore a 2 volte il passo, il che significa avere sempre due coppie di denti in presa, con il che si ottiene il frazionamento della pressione mutua e la maggior sicurezza di trasmissione, come si è già accennato.

Un altro vantaggio non indifferente, al quale in pratica si annette molta importanza, è quello che deriva dal fatto che per una proprietà particolare dei profili a sviluppante, essi restano coniugati anche se le due ruote si allontanano dalla loro posizione normale, o anche se se ne avvicinano compatibilmente col gioco esistente tra il cerchio di testa dell'una e quello di base dell'altra; ma anche il rapporto di velocità tra le due ruote resta inalterato: perciò un piccolo errore di montaggio ovvero un successivo spostamento dovuto al consumo dei cuscinetti degli alberi non impedisce che la trasmissione avvenga ancora in maniera sufficientemente corretta.

Un'altra proprietà singolare è che la trasmissione con profili a sviluppante può avvenire anche se gli assi delle due ruote sono sghembi, e quindi anche un piccolo errore di montaggio in questo senso non porta danno sensibile, almeno dal punto di vista cinematico.

Ruote a denti elicoidali. - Si abbiano due ruote dentate di passo p e sia s l'arco d'azione; si dividano idealmente tali ruote in strati di ugual spessore con piani normali all'asse e si facciano ruotare ciascuno di essi rispetto a quello precedente di un medesimo angolo, ma di senso opposto per le due ruote.

Si ottengono così le ruote a gradini (fig. 8) ideate anticamente da Hooke, per le quali l'arco d'azione diventa s + s′; questo può permettere di ridurre l'altezza dei denti, con il che si perde il vantaggio dell'aumento dell'arco d'azione, ma si ottiene in compenso l'altro di ridurre lo strisciamento tra i due profili, e quindi la perdita di lavoro per attrito e il consumo delle ruote.

Se si suppone infinitamente grande il numero dei gradini si passa alle ruote dentate a denti elicoidali. In queste si potrebbe ridurre al minimo (anche infinitesima) la sporgenza dei denti; risulterebbe allora nullo l'attrito perché il contatto avverrebbe sempre sulla periferia primitiva, e la trasmissione risulterebbe sempre assicurata purché fosse s′ > p.

In realtà occorre però dare sempre una certa sporgenza perché basterebbe un piccolo allontanamento delle due ruote per far cessare l'accoppiamento. I grandi vantaggi delle ruote a denti elicoidali, che sono usatissime malgrado la maggior difficoltà di costruzione, sono dovuti alla maggior dolcezza della trasmissione, dolcezza dovuta al fatto che il contatto dei denti avviene e finisce gradualmente, e non istantaneamente per una intera generatrice come nelle ruote a denti diritti. Di più si ha un aumento del numero di coppie di denti in presa: lo sforzo trasmesso si ripartisce e si fraziona e quindi minore è la forza a cui è assoggettato il dente. Questo è in migliori condizioni di resistenza perché sono enormemente attutiti gli urti e le trepidazioni che, specie con le alte velocità, si verificherebbero se il contatto s'iniziasse e terminasse bruscamente invece che gradualmente.

Le ruote dentate elicoidali semplici hanno l'inconveniente che per effetto dell'inclinazione dei denti la forza trasmessa da una ruota all'altra presenta una componente secondo l'asse, ossia, come si dice, dà luogo a una spinta: necessita quindi l'adozione di cuscinetti speciali più costosi e che dànno maggiori perdite di lavoro per attrito. Inoltre l'azione mutua tra due denti è maggiore che non nel caso di denti ordinarî a parità di sforzo periferico trasmesso, perché inclinata. Si evita la spinta sull'asse adottando le ruote a frecce o a cuspidi, costituite da due ruote identiche a denti elicoidali, ma l'una con inclinazione opposta a quella dell'altra, in modo che per simmetria la spinta che ciascuna ruota esercita è equilibrata dall'altra (fig. 9).

Un'applicazione assai importante delle ruote a doppia dentatura elicoidale si ha nei riduttori, che sono degli imboccamenti aventi per scopo la trasmissione di potenza (generalmente assai forte) da un albero a un altro che fa un numero di giri assai minore.

Si applicano, p. es., nella trasmissione da un motore elettrico agli alberi di macchine utensili; si applicano per la trasmissione da una turbina a vapore agli alternatori, e si applicano finalmente in marina per la trasmissione dall'albero di una turbina a vapore e quello dell'elica, riuscendo a far funzionare l'una e l'altra nelle migliori condizioni di rendimento.

I riduttori marini sono costruiti di acciaio della migliore qualità; sono abbondantemente lubrificati: per questo le ruote sono sistemate in una scatola chiusa all'interno della quale si manda un getto d'olio sotto pressione; l'olio che si raccoglie nel fondo della scatola viene poi aspirato e refrigerato prima di essere di nuovo introdotto.

Il rocchetto di un riduttore è generalmente costruito di un sol pezzo con l'albero; la dentatura si estende notevolmente nel senso dell'albero, il che permette di avere un notevole numero di coppie di denti in presa; generalmente si adopera per la dentatura il modulo di 5 mm., e si calcola in corrispondenza della potenza e della velocità trasmesse la lunghezza della ruota (fig. 10).

Se due macchine marine debbono muovere un solo albero porta elica si accoppiano due rocchetti con un'unica ruota. Se il rapporto di velocità da conseguire è forte si adoperano pure i riduttori doppî (fig. 11).

Ruote dentate coniche. - Quando la trasmissione di movimento deve avvenire tra due ruote dentate i cui assi s'incontrano si adoperano le ruote dentate coniche. In genere gli assi possono formare un angolo qualunque, ma il caso più comune è quello in cui gli assi si incontrano ad angolo retto (fig. 12).

Se si considera un dente di una ruota conica, questo ha spessore variabile; in una dentatura conica si possono avere diversi raggi primitivi, moduli, passi, spessori, a seconda che si consideri il raggio esterno, il raggio interno o un raggio intermedio. Nella pratica corrente quando non è detto il contrario si suole riferirsi al raggio esterno.

Valgono per le ruote coniche le stesse norme di profilatura, la stessa scala dei moduli che per le ruote cilindriche: ma mentre per queste avviene che due ruote aventi ugual modulo e ugual tipo di profilo imboccano correttamente, per le ruote coniche è necessario che sia verificata l'altra condizione che esse abbiano il medesimo vertice dei coni primitivi.

I denti delle ruote coniche possono essere diritti, di forma conica, e allora il contatto avviene sempre lungo una generatrice, o possono essere elicoidali. Il tracciamento dei profili si fa in modo analogo a quello delle ruote dentate cilindriche trasportando sulla sfera quanto è stato fatto sul piano: i profili possono essere quindi dati da epicicloidi e ipocicloidi sferiche, o da sviluppanti sferiche. Anche nel caso delle ruote dentate coniche si ha la proprietà che adottando le sviluppanti sferiche come profilo dei denti, è permesso un leggero spostamento relativo delle due ruote senza che cessi il corretto funzionamento della trasmissione.

Si adoperano correntemente le ruote dentate coniche a denti elicoidali, con gli stessi vantaggi e gli stessi inconvenienti già visti nel caso delle ruote cilindriche. L'asse del dente è una linea a passo costante: la sua proiezione su un piano normale all'asse è una spirale d'Archimede (fig. 13). La spinta che si verifica nelle ruote coniche elicoidali è di grandezza variabile.

Ruote dentate ad assi sghembi. - Possono essere adoperate le ruote dentate anche per trasmettere movimento tra due assi sghembi: si adoperano in tal caso ruote dentate elicoidali (fig. 14). Contrariamente a tutti i tipi fin qui considerati, non vale più per esse la semplice relazione:

ma questa resta modificata nell'altra:

essendo α e α′ gli angoli che la tangente t nel punto di contatto forma con i due assi.

Questa formula spiega come si possano avere forti rapporti di velocità anche con rapporti di raggi non molto diversi dall'unità. Questi imboccamenti hanno però l'inconveniente di avere un rendimento assai più basso di quello degl'imboccamenti cilindrici e conici. Non si applicano quasi mai quando la potenza da trasmettere è notevole: hanno modeste applicazioni per meccanismi di distribuzione o per dare movimento da un albero principale di una macchina ad alberi secondarî che muovono degli accessorî per i quali necessita una piccola potenza.

Un solo caso particolare di questo imboccamento ha un'estesa applicazione, perché molto utile come riduttore di forza, ed è l'imboccamento a vite perpetua. In questo caso i due assi sono generalmente normali tra di loro, e una delle ruote si riduce a una vite, mentre l'altra si presenta come una comune ruota cilindrica a denti elicoidali (fig. 15). Se la vite ha un solo filetto e la ruota ha z denti, il rapporto delle velocità angolari (o del numero dei giri) della ruota e della vite è dato da:

e si può quindi conseguire una notevole riduzione di velocità.

L'imboccamento a vite perpetua è molto usato nei meccanismi di sollevamento, per manovre di saracinesche o paratoie, e in casi analoghi dove ha meno interesse il rendimento che non il vantaggio di avere una forte moltiplicazione di forza: notevole è anche la sua applicazione allo sterzo dell'automobile.

Rendimento delle ruote dentate. - Il rendimento istantaneo delle ruote dentate cilindriche a denti diritti è dato dalla formula:

dove x rappresenta la distanza del punto di contatto M dal centro istantaneo di rotazione I e α rappresenta l'angolo che la retta MI forma con la congiungente i centri (fig. 16).

Il rendimento medio è dato approssimativamente da:

dove p rappresenta il passo della dentatura e z e z′ il numero dei denti delle due ruote.

Per un imboccamento interno le formule diventano:

Nel caso di una ruota e ni una dentiera invece diventano:

Uno studio più accurato delle perdite per attrito porta alla conseguenza (che non risulta dalle formule esposte) che non è indifferente considerare l'una o l'altra delle due ruote dentate formanti imboccamento come ruota motrice o come ruota mossa. Nel caso di ruote dentate di diverso diametro si trova che il rendimento è maggiore quando quella più piccola è motrice, e questo spiega perché nel caso di grandi rapporti di velocità gl'imboccamenti s'impiegano piuttosto come riduttori che non come moltiplicatori di velocità.

Il rendimento della coppia di ruote dentate coniche è dato dalla formula:

essendo ϕ l'angolo formato dai due assi. Nel caso comune in cui questi sono perpendicolari, la formula diviene:

la quale fa vedere che a parità di altre condizioni esso è maggiore che non nel caso delle ruote cilindriche.

Nel caso d'imboccamento a vite perpetua il rendimento è espresso da:

dove β rappresenta l'angolo d'inclinazione del filetto e ϕ l'angolo d'attrito.

Il rendimento dell'imboccamento a vite perpetua è assai più basso che non quello delle ruote dentate cilindriche e coniche, può però raggiungere anche valori elevati con una buona lubrificazione e con l'adoperare viti a più filetti, con il che si diminuisce il valore di ϕ e si aumenta quello di β: per es., per una vite a tre filetti, per la quale sia

Per le ruote dentate cilindriche e coniche possono ottenersi valori molto maggiori: p. es., per f = o,02 e per z e z′ = 30 si ottiene:

e cioè vicinissimo all'unità.

Calcolo delle ruote dentate. - La formula della flessione semplice, nell'ipotesi che lo sforzo P sia applicato alla testa di un solo dente, supposto incastrato alla base (fig. 17), dà:

da cui, essendo:

e ponendo per semplicità s = p/2 (ipotesi favorevole alla resistenza, poiché effettivamente la larghezza del dente alla base è maggiore di metà del passo), si ricava:

Si suole nel calcolo distinguere due tipi diversi d'ingranaggi: quelli cosiddetti di forza, nei quali si deve trasmettere una forza considerevole a lenta velocità e spesso in maniera intermittente, e quelli cosiddetti di lavoro, nei quali la trasmissione si ha in modo continuo o almeno per lunghi intervalli di tempo e a velocità spesso considerevoli.

Per le trasmissioni di forza si applica senz'altro la formula trovata dando a C un valore variabile tra 18 e 21 per ruote di ghisa, il che corrisponde a un valore di σ₀ variabile fra 300 e 350 kg/cmq.

Per ruote di diverso materiale si moltiplica il valore di C per dei coefficienti variabili coi diversi materiali (da 2 a 3,3 per i diversi tipi di acciaio comune, da 1,3 a 1,7 per i diversi tipi di bronzo); per acciai speciali resistentissimi il coefficiente può raggiungere anche valori maggiori (fino a 10 e 20).

Per le ruote di lavoro, si sono eseguiti notevoli studî teorici e sperimentali; il fenomeno è assai più complesso di quello che esprime la formula trovata: si osservi infatti che i denti si comprimono e si deformano, che la pressione massima dipende dalle curvature delle superficie a contatto, che il fenomeno è complicato dalla presenza dei lubrificanti e dal fatto che durante il movimento avviene uno strisciamento, il che per effetto della mutua compressione porta a uno sviluppo di calore e a un aumento di temperatura. Inoltre col funzionamento i denti si consumano e perdono la caratteristica di essere coniugati, il che poi fa accrescere il logorio successivo.

Malgrado queste considerazioni si suole ancora adoperare la formula trovata, con questa sola differenza, che il coefficiente C invece di dipendere esclusivamente dal grado di resistenza del materiale, lo si considera funzione anche della velocità periferica delle ruote.

Con ciò non si tiene però conto del tipo della profilatura e del numero dei denti delle ruote, che ha la sua importanza dipendendo il consumo dei denti dal numero degl'imbocchi.

Il Pomini suggerisce, dopo eseguito un primo calcolo, una verifica in base alla formula:

con ψ funzione del rapporto di trasmissione e del numero dei denti dei rocchetti.

Calcolo delle dentature bielicoidali. - Si suole adoperare correntemente il modulo m = 5, e a seconda dello sforzo da trasmettere si fa variare la larghezza della ruota. Il Pomini per velocità periferiche comprese tra 25 e 40 m./sec. propone la formula:

dove z₁ è il numero dei denti del rocchetto e z₂ il numero dei denti della ruota.

Calcolo dell'imboccamento a vite perpetua. - Vale anche qui la formula:

per valori di C variabili a seconda dei casi.

Costruzione degl'ingranaggi.

Lo sviluppo moderno delle costruzioni meccaniche, e specialmente l'aumento della velocità e il desiderio della silenziosità, richiedono che il profilo dei denti degl'ingranaggi riproduca con sempre maggior esattezza la forma del profilo geometrico teorico. Ne segue che i mezzi meccanici per l'esecuzione delle dentature, sono divenuti sempre più perfetti e il controllo delle superficie di accoppiamento sempre più spinto e raffinato; la forma poi dei denti non è più oggetto soltanto di considerazioni di carattere geometrico e cinematico, ma viene studiata dal punto di vista della realizzazione meccanica e dei criterî industriali che debbono guidarne l'esecuzione.

Nel caso più comune le ruote dentate vengono tagliate sulle macchine dentatrici dal pieno partendo da una corona lavorata in precedenza e limitata dalla superficie di testa dei denti.

Le macchine concettualmente più semplici sono quelle per il taglio diretto. Alcune sono delle vere e proprie limatrici nelle quali (figura 18) l'utensile, nel moto di lavoro, si muove di moto rettilineo e traccia una generatrice della superficie rigata del dente. L'avanzamento che è attribuito all'utensile o al pezzo in lavoro, viene guidato da una sagoma, la forma geometrica della quale è tale da corrispondere alla superficie del dente da generare; se le successive traiettorie rettilinee del punto dell'utensile generatore della superficie del dente sono parallele si ottiene una superficie cilindrica e la macchina è destinata al taglio delle ruote dentate cilindriche a denti diritti; se le traiettorie concorrono invece in un punto, si ottengono delle superficie coniche e la macchina è destinata al taglio delle ruote dentate coniche a denti diritti.

Una lavorazione più rapida si ottiene sulle macchine che eseguono il taglio dei denti con frese di forma a disco. La fresa è generalmente a profilo costante, con sezione meridiana riproducente la sezione normale delle cavità da generare tra un dente e l'altro. La macchina assume lo schema di una fresatrice munita di divisore e infatti il taglio delle ruote dentate cilindriche a denti diritti ed elicoidali può essere eseguito anche su una fresatrice universale qualsiasi (figg. 19-20).

Volendo tagliare con frese a disco ruote dentate cilindriche con denti a freccia si presentano alcuni inconvenienti, che si possono evitare usando frese a bottone come nel sistema Citröen (fig. 21). In tal caso, per mezzo di un conveniente moto di alimentazione, la fresa, disposta con il proprio asse radialmente rispetto alla ruota, può tagliare dentature a freccia di qualsiasi forma (fig. 22) e i varî elementi elicoidali d'inclinazione simmetrica risultano raccordati al vertice con forte aumento della resistenza del dente. Le superficie delle zone di raccordo non risultano però coniugate e non intervengono nella trasmissione del moto.

Il taglio delle ruote dentate cilindriche con frese di forma, richiede l'uso di una fresa diversa per ogni caso particolare, ciò che rende costosa l'attrezzatura. Per ruote dentate di assortimento si è limitato il numero delle frese necessarie per ogni valore del modulo utilizzando lo stesso utensile per ruote con numero di denti variabile entro limiti determinati ottenendo in generale dei profili non esatti ma che si discostano poco dalla forma teorica.

Le frese di forma non possono essere correttamente adoperate per il taglio delle ruote coniche perché in queste ultime la sezione del solco va continuamente variando, mentre la sezione della fresa è costante.

Le macchine più recenti tagliano gli ingranaggi quasi esclusivamente per inviluppo: sistema che ha conveniente applicazione per ruote di assortimento.

Si considerino due ruote A e B (fig. 23) le quali imbocchino correttamente e che quindi si conducano come se le periferie primitive p_a e p_b rotolino una sull'altra. Ogni profilo di dente della ruota A inviluppa nel moto relativo il profilo del dente corrispondente della ruota B. Sagomando la linea di taglio di un utensile A secondo il profilo di un dente o di un gruppo di denti della ruota A sarà possibile, realizzando il moto relativo A rispetto a B e attribuendo all'utensile un conveniente moto di lavoro, tagliare per inviluppo la ruota B. Il principio è attuato nella macchina Fellows (figg. 24, 26). L'utensile (fig. 25) ha la forma di un pignone dentato intero. La ruota da dentare e l'utensile assumono un moto relativo per mezzo di un conveniente meccanismo come se le periferie primitive si conducessero. L'utensile ha inoltre un movimento alternato nella direzione del proprio asse (moto di lavoro) necessario per l'asportazione del truciolo. La successione dei movimenti è la seguente: l'utensile si trova in alto, A e B ruotano intorno al proprio asse di una piccola quantità come se le periferie primitive rotolassero una sull'altra; l'utensile scende (corsa di lavoro e asportazione del truciolo); gli assi dell'utensile e della ruota si allontanano leggermente, l'utensile si alza, gli assi riprendono la loro posizione e il ciclo riprende. Il taglio dell'intera ruota B avviene completamente senza bisogno di divisore.

Con un utensile di modulo M si possono tagliare tutte le ruote di assortimento dello stesso modulo. Occorre evidentemente un utensile per ogni valore del modulo.

In altre macchine (Maag; figg. 27-28) la periferia primitiva della ruota da tagliare rotola sul piano primitivo di una dentiera (utensile) che può assumere il solo moto alternato di lavoro per asportare il truciolo; usando la profilatura a sviluppante, il profilo della dentiera e quindi lo spigolo di taglio dell'utensile che la riproduce è rettilineo e può essere realizzato facilmente con la massima precisione.

Le stesse macchine ora descritte si prestano con alcune varianti all'esecuzione di ruote dentate cilindriche con denti elicoidali.

Ruote cilindriche con dentature diritte o elicoidali si tagliano, sempre per inviluppo, sulle macchine Pfauter. In queste l'utensile, costituito da una fresa elicoidale i cui spigoli di taglio rappresentano linee giacenti su un elicoide sviluppabile, ruota intorno al proprio asse con moto uniforme mentre si sposta lentamente secondo la direzione dell'asse della ruota in lavorazione: quest'ultima a sua volta gira con velocità angolare costante intorno al proprio asse. Regolando la velocità di rotazione della ruota rispetto a quella dell'utensile ed orientando opportunamente l'asse della fresa, la ruota risulta tagliata con denti diritti o elicoidali e, data la definizione degli spigoli di taglio, la profilatura risulta a sviluppante. Questo sistema permette non solo di escludere l'uso del divisore ma anche di tagliare il dente con continuità durante il moto di generazione (figg. 29, 30, 31, 32). Con sistema analogo si tagliano le ruote per gli accoppiamenti di ruota e vite perpetua. Gli spigoli di taglio della fresa elicoidale corrispondono a sezioni del filetto della vite (figura 33), e mentre la fresa gira intorno al proprio asse, la ruota gira intorno a un asse perpendicolare, come se fosse comandato dalla vite e i suoi denti risultano tagliati per inviluppo.

Il principio su cui si fonda il sistema di taglio per inviluppo viene utilizzato anche nell'esecuzione delle ruote dentate coniche.

Trattandosi di ruote di assortimento occorre definire per prima cosa la forma del dente di una ruota della serie dal quale tutti gli altri profili si otterranno per inviluppo. Generalmente si parte dalla definizione del dente della ruota piatta e questo dente viene limitato per le dentature diritte da superficie piane per la necessità di ottenere in corrispondenza delle varie sezioni del dente generato profili omotetici con un unico spigolo di taglio. I varî tipi di macchine in uso differiscono per la maniera di realizzare il moto relativo della ruota conica da tagliare, rispetto alla ruota piatta, il cui dente è rappresentato dall'utensile. L'utensile poi assume il moto di lavoro come in una limatrice, analogamente a quanto si è visto per molte delle dentatrici già descritte. Così, nella macchina Gleason, la ruota piatta (utensile) e la ruota da tagliare ruotano intorno ad assi fissi nello spazio e concorrenti in un punto e la legge del moto è identica a quella che si avrebbe se le superficie primitive si conducessero. Le superficie dei singoli denti vengono tagliate in modo completo, e quando una di esse è terminata, la macchina torna nella posizione iniziale e il divisore fa avanzare la ruota di un passo. Nella macchina Bilgram, invece, l'utensile ha il solo moto alternativo di lavoro, mentre il pignone si muove come se la sua superficie primitiva rotolasse su quella della ruota piatta corrispondente fissa nello spazio. In questa dentatrice dopo ogni corsa di lavoro dell'utensile il divisore fa avanzare la ruota di un passo; in tal modo tutti i denti vengono successivamente parzialmente lavorati e in un determinato istante si trovano tutti nello stesso stadio di lavorazione; si evita così di dover far tornare la macchina nella posizione iniziale per ogni dente come nella macchina Gleason. Sulle macchine Bilgram si tagliano anche ruote coniche a denti curvi corrispondenti a una ruota piatta con denti piramidali di vertice convenientemente spostato rispetto al centro delle superficie primitive.

Alcune macchine moderne destinate a tagliare, sempre per inviluppo, dentature definite da particolari forme del dente della dentiera o della ruota piatta, interessano specialmente per la loro realizzazione e la produzione.

Una macchina della ditta Gleason realizza un ingranaggio conico a denti curvi corrispondente a una ruota piatta con i denti definiti da una superficie conica a sezione retta circolare con l'asse normale al piano primitivo della ruota stessa (fig. 34).

L'utensile impiegato nella macchina è una fresa a denti riportati (fig. 35) a spigoli di taglio rettilinei e disposti secondo le generatrici del cono che definisce il dente della ruota piatta. La fresa gira intorno al proprio asse ed è trascinata nel moto di rotazione della ruota piatta coniugato con quello assunto dalla ruota conica da tagliare. Gli spigoli di taglio della fresa inviluppano nel loro moto il dente della ruota piatta e nel moto relativo rispetto alla ruota in lavorazione anche i denti di quest'ultimo che vengono così tagliati. Terminato il taglio di un dente la macchina riprende la posizione primitiva, il divisore permette l'avanzamento della ruota tagliata di un passo e il ciclo riprende. È evidente che con questo sistema occorre tagliare separatamente le due facce dello stesso dente. Per accelerare la produzione, rinunciando però alla precisione della forma, possono essere tagliate contemporaneamente due facce adiacenti.

Se si eccettuano le macchine che adoperano le frese elicoidali, tutte le altre finora descritte hanno, come si è visto, un funzionamento discontinuo. È evidente il vantaggio che, specie nei riguardi della precisione e della produzione, si può ottenere con un avanzamento continuo. Questo sistema è stato realizzato dal Monneret fin dal 1899 e costituisce una caratteristica di alcuni moderni tipi di macchine costruiti dalle case Reineker, Örlikon, ecc.

Nelle prime (Reineker, sistema Böttcher; fig. 36) la superficie di una faccia di tutti i denti della dentiera o della ruota piatta è costituita da porzioni di un'unica superficie rigata le cui generatrici formano un angolo costante con il piano primitivo, e che risulta generata da un utensile a spigolo di taglio rettilineo il quale assume un opportuno moto parallelo allo stesso piano primitivo.

Il moto dell'utensile generatore della superficie del dente della dentiera o della ruota piatta, può essere a sua volta considerato come risultante di due movimenti piani sempre paralleli alla superficie primitiva: il primo fa descrivere ai punti dell'utensile una traiettoria chiusa di forma opportuna con legge determinata; il secondo invece consiste in una traslazione uniforme nel caso della dentiera o in una rotazione, anch'essa uniforme, intorno all'asse, nel caso della ruota piatta (fig. 37).

Nella realizzazione pratica l'utensile descrive solo la traiettoria chiusa e la ruota da tagliare assume un moto che è risultante di quello di rotolamento rispetto alla dentiera (o ruota piatta) generatore del profilo e di quello dell'utensile rispetto alla dentiera (o alla ruota piatta). Si ottiene così un moto continuo, i denti vengono tutti tagliati successivamente della stessa quantità a mano a mano che vengono a contatto con l'utensile e la macchina si arresta solo quando tutti i denti sono lavorati in modo completo. La macchina provvede al necessario ritiro dell'utensile per quelle parti della superficie che non corrispondono alle facce dei denti. Anche in questa macchina sarebbe necessario tagliare separatamente le due facce dei denti, ma per accelerare la produzione si fanno lavorare, rinunciando a un'estrema esattezza, tre utensili opportunamente disposti, dei quali uno è destinato alla sgrossatura e gli altri due al taglio di due facce adiacenti. Una caratteristica costruttiva interessante della macchina Reineker è costituita dal fatto che gli utensili, oscillando opportunamente intorno allo spigolo di taglio, assumono in ogni istante la posizione più conveniente per il taglio. Le figg. 38, 39 rappresentano ruote tagliate con questa macchina.

Nella macchina Örlikon, sistema Brandemberger, invece, per ruote dentate coniche, l'utensile, sempre a spigolo di taglio rettilineo, descrive la rigata di cui sono parte le superficie dei denti della ruota piatta con un movimento che può essere considerato risultante di un'oscillazione radiale e una rotazione con velocità angolare costante intorno all'asse della ruota piatta. Praticamente l'utensile ha un moto alternativo rettilineo rispetto al porta utensile; il porta utensile un moto di rotazione lentissimo intorno all'asse fisso della ruota piatta corrispondente al rotolamento della superficie primitiva della ruota piatta su quella della ruota da tagliare per la generazione del profilo; la ruota da tagliare a sua volta un moto di rotazione continuo intorno al suo asse fisso corrispondente al movimento dell'utensile rispetto alla ruota piatta per generare le superficie dei denti successivi, e al rotolamento delle superficie primitive per le generazioni del profilo dei denti. Generalmente le superficie dei denti della ruota piatta vengono generate dall'utensile progressivamente in ordine diverso da quello secondo cui sono disposti allo scopo di ottenere una forma conveniente dei denti.

Dentatrice conica, concettualmente diversa, è la macchina Klingenberg. In essa il dente della ruota piatta è rappresentato da una superficie rigata la cui sezione con il piano primitivo consiste in una sviluppante di cerchio raccorciata; e questa stessa superficie si ottiene per inviluppo degli spigoli di taglio di una fresa madre troncoconica di forma opportunamente studiata, la quale ruota intorno al proprio asse, mentre la ruota piatta gira con velocità angolare corrispondente.

Facendo assumere alla ruota conica da dentare un movimento di rotazione, come se essa fosse condotta dalla ruota piatta, gli spigoli di taglio della fresa ne inviluppano e generano le superficie dei denti.

Nel caso in cui la ruota venga sottoposta a dei processi termici (cementazione, tempra, ecc.) per ottenere determinate proprietà meccaniche del materiale di cui è costituita e specialmente la durezza alla superficie dei denti, occorre eliminare l'effetto delle deformazioni che alterano la forma del dente. Solo però per la rettifica dei tipi più semplici di dentature esistono macchine adatte (rettificatrici) le quali adoperano come utensile delle mole abrasive ruotanti intorno al loro asse. Per la rettifica delle ruote dentate cilindriche alcune usano una mola di forma e riposano sullo stesso principio base del taglio dei denti con frese di forma. Altre invece realizzano il principio di taglio per generazione. Così le Maag (fig. 40) ripetono lo schema cinematico delle analoghe dentatrici. La ruota da rettificare oscilla rotolando davanti alla dentiera di assortimento come se le superficie primitive si conducessero; la superficie piana del dente della dentiera è rappresentato dal bordo di una mola a scodella (fig. 41).

Nelle Lees-Bradner, analoghe come principio, la superficie piana del dente della dentiera è realizzata da una superficie estesa limitante una mola di grandi dimensioni (fig. 42).

Per le ruote coniche esistono rettificatrici quali le Bilgram analoghe alle dentatrici già descritte, nelle quali al posto dell'utensile si trova una mola troncoconica che gira a conveniente velocità. Durante la corsa di lavoro, la mola inviluppa il dente della ruota piatta analogamente a quanto avviene nelle dentatrici.

Nel caso di dentature cilindriche e coniche con denti di forma generica, la rettifica presenta notevoli difficoltà e allora ci si contenta di un' operazione che consiste nel far funzionare le due ruote della coppia in condizioni analoghe a quelle d'impiego mentre sono bagnate da una corrente di lubrificante il quale tiene in sospensione una polvere abrasiva. Si ottiene con ciò in alcuni casi l'eliminazione di piccoli difetti e in genere la silenziosità della coppia durante il funzionamento in esercizio corrente.

Talora le ruote dentate cilindriche a denti diritti, dopo il taglio e prima del trattamento termico, vengono assoggettate a un processo di brunitura avente lo scopo di eliminare le piccole irregolarità dovute al modo di agire dell'utensile durante l'esecuzione della dentatura. Nella macchina Fellow tale operazione (fig. 46) si effettua forzando la ruota fra tre altre ruote di assortimento di stesso modulo aventi denti molto duri e precisi.

Gli strumenti adoperati per la verifica delle caratteristiche geometriche delle ruote dentate, data la grande precisione richiesta nelle costruzioni meccaniche moderne, sono divenuti sempre più raffinati.

Si hanno strumenti per la misura dello spessore dei denti e dell'intervallo fra due denti, per la misura del passo (figg. 43, 45) con una precisione di 2/1000 di mm., per la verifica del profilo con una precisione di 2/1000 di mm. (figure 44, 47), dell'eccentricità tra l'asse di rotazione della ruota e l'asse di simmetria della dentatura, ecc. La macchina Sauer rappresenta poi un dispositivo interessante per la verifica della legge di trasmissione del moto tra una coppia di ruote dentate.