incremento

incremento

incremento termine che significa, in generale, differenza tra il valore “finale” e quello “iniziale” di una variabile (senza che si attribuisca a priori a questi aggettivi alcun significato temporale). Per esempio, l’incremento di una funzione ƒ(x) in un intervallo [a, b] è la differenza ƒ(b) − ƒ(a). Se l’incremento è negativo, la funzione assume nel secondo estremo b un valore minore di quello assunto in a. In genere, esso è indicato con la lettera greca Δ (delta). Nel caso della variabile indipendente x di una funzione, si pone sovente Δx = h. Quindi, con riferimento implicito all’intervallo [x, x + h], si indica l’incremento della funzione con Δƒ intendendo che Δƒ(x) = ƒ(x + h) − ƒ(x). Nel calcolo numerico si adottano anche i simboli di incremento all’indietro Δƒ(x) = ƒ(x) − ƒ(x − h) e di incremento centrale Δƒ(x) = ƒ((x + h)/2) − ƒ((x − h)/2).

Nel calcolo infinitesimale, la notazione formale dx indica un incremento infinitesimo, utilizzabile tuttavia solo nell’ambito di costrutti che lo comprendono (→ derivata, → differenziale).

Per le funzioni derivabili, vale il teorema degli incrementi finiti, per il quale si veda → Cauchy, teorema di (o degli incrementi finiti).

Il rapporto Δƒ /h tra l’incremento di una funzione ƒ e l’incremento corrispondente h = Δx della variabile indipendente è detto rapporto incrementale: fornisce il coefficiente angolare della corda che congiunge i punti (x, ƒ(x)) e (x + h, ƒ(x + h)) ed è alla base della definizione di derivata di una funzione (→ rapporto incrementale).