ICOSAEDRO

ICOSAEDRO

. Si designa con questo nome ogni poliedro a 20 facce (dal greco εἴκοσι "venti"). Particolarmente notevole è l'icosaedro regolare, che è uno dei cinque poliedri regolari convessi (v. poliedro). Le sue 20 facce sono triangoli equilateri (uguali); ha 12 vertici, i quali sono vertici di angoloidi regolari pentaedri del poliedro; e ha 30 spigoli. Come ogni poliedro regolare, è iscritto in una sfera e circoscritto a un'altra: il centro comune di queste sfere dicesi anche centro del poliedro, e ne è il baricentro. Se l indica la lunghezza di uno spigolo, r il raggio della sfera inscritta (o apotema dell'icosaedro), R il raggio della sfera circoscritta, s l'area della superficie, v il volume, valgono le formule:

Pitagora ha per primo indicato la costruzione dell'icosaedro regolare, e ne ha compiuto lo studio geometrico. Di questo, e degli altri poliedri regolari, tratta il libro XIII degli Elementi di Euclide.

Le rotazioni dello spazio intorno al centro d'un icosaedro regolare, le quali riportano a coincidere con sé stesso il poliedro, costituiscono un gruppo (v.), detto appunto "gruppo dell'icosaedro". Esso è identico al gruppo del dodecaedro (v. dodecaedro), come risulta subito dall'osservare che i centri delle facce d'un icosaedro regolare sono i vertici d'un dodecaedro regolare concentrico, e quindi le rotazioni dello spazio che riportano in sé stesso uno dei due poliedri, riportano in sé stesso anche l'altro. Delle 60 rotazioni del gruppo dell'icosaedro, le 24 quinarie (cioè aventi come quinta potenza l'identità) hanno per assi le 6 rette che uniscono le coppie di vertici opposti del poliedro; le 20 ternarie hanno per assi le dieci perpendicolari condotte dal centro alle facce dell'icosaedro; le 15 binarie hanno per assi le congiungenti i punti medî degli spigoli opposti; e una è l'identità. Notevole è l'applicazione all'algebra del gruppo dell'icosaedro. Come tutti i gruppi dei poliedri regolari, esso è oloedricamente isomorfo a uno dei gruppi finiti di sostituzioni lineari sopra una variabile complessa. Corrispondentemente a uno qualsiasi, G, di tali gruppi, si può costruire un'equazione algebrica irriducibile f (x,t) = 0, di grado m uguale all'ordine del gruppo, definiente una funzione algebrica x (t), i cui m rami hanno la proprietà che tutti quanti, per ogni valore di t, si ottengono da uno qualunque di essi, operando su quello mediante le m sostituzioni lineari del gruppo G. Si hanno così le equazioni dette appunto "dei poliedri regolari". Ora, i gruppi dei poliedri regolari dei primi quattro tipi, e cioè i gruppi ciclici, diedrali, del tetraedro e dell'ottaedro (o cubo), sono gruppi risolubili (v. gruppo); da ciò segue che le corrispondenti equazioni sono risolubili per radicali; cioè la loro risoluzione si può far dipendere dalla risoluzione di successive equazioni binomie. Invece, il gruppo dell'icosaedro è semplice, e quindi la corrispondente equazione (equazione dell'icosaedro) non è risolubile per radicali e definisce una nuova irrazionalità (di natura ben diversa da quelle che si ottengono con estrazioni di radici) detta appunto "irrazionalità icosaedrica". F. Klein ha dimostrato che ogni equazione algebrica di quinto grado si può risolvere mediante estrazioni di radici quadrate e con l'aggiunta (al campo di razionalità) di un'irrazionalità icosaedrica.

Il gruppo dell'icosaedro è anche oloedricamente isomorfo al gruppo alterno su cinque elementi. Come tale esso compare, in geometria, nello studio della "configurazione del pentaedro". Insieme con gli altri gruppi poliedrali, si presenta in varie altre questioni geometriche.

Bibl.: F. Klein, Vorlesungen über das Ikosaëder und die Auflösung der Gleichungen von fünften Grades, Lipsia 1884; L. Bianchi, Lezioni sulla teoria dei gruppi di sostituzioni e delle equazioni algebriche secondo Galois, Pisa 1900, capitolo 8°; E. Ciani, Sopra la configurazione del pentaedro, in Rend. del Circ. mat. di Palermo, XXI, 1906; id., Sopra i gruppi finiti di collineazioni quaternarie oloedricamente isomorfi con quelli dei poliedri regolari, in Ann. di mat., s. 3ª, VIII (1902); id., Alcune applicazioni geometriche della teoria dei gruppi di sostituzioni, in Giorn. di mat., LXVIII (1930).