GRAVITÀ

GRAVITÀ

. Ogni corpo, abbandonato a sé stesso in prossimità della Terra, cade al suolo e, se vogliamo impedire che ciò avvenga, dobbiamo sostenere il corpo, esercitando su esso un opportuno sforzo muscolare o, se ciò non basta, ricorrendo a convenienti dispositivi. Si riconosce così che ogni corpo, in prossimità della Terra, è soggetto a una certa forza che è il peso, o, come anche si suol dire, la forza di gravità, o, semplicemente, la gravità. Sul moto dei gravi, cioè dei corpi soggetti alla forza di gravità, v. cinematica, n. 14, e dinamica, nn. 2-5; sulla determinazione della forza di gravità, v. gravimetria; sui grandiosi sviluppi di filosofia naturale, che si riconnettono al concetto di gravità, v. gravitazione.

Centro di gravità (ted. Schwerpunkt). - Come si rileva dalle più comuni esperienze, ogni corpo è sollecitato dal suo peso a cadere nella direzione del filo a piombo, che notoriamente si chiama la verticale. In realtà questa verticale, che come tutti sanno, è diretta verso il centro della Terra, la quale è solo approssimativamente sferica, varia da posto a posto; ma se, come qui intendiamo, si resta in una regione abbastanza ristretta, le deviazioni della verticale sono così lievi ch'essa si può considerare di direzione invariabile. Varia invece, generalmente, da corpo a corpo l'intensità del peso, misurabile ad es. con un dinamometro; e in un medesimo corpo ogni particella ha un peso suo proprio, che è lo stesso, tanto se la particella è isolata, quanto se è in qualsiasi modo collegata con le altre, in guisa che, se il corpo si frantumasse, i pesi dei singoli frammenti, sommati insieme, darebbero ancora il peso dell'intero corpo. Così il peso totale di un corpo si può pensare dovuto all'azione concomitante dei pesi delle sue singole particelle, i quali sono altrettante forze d'intensità generalmente variabile da particella a particella, ma tutte fra loro parallele e dirette secondo la verticale dall'alto in basso. Ora si dimostra (v. statica) che questo sistema di forze parallele ammette come risultante (cioè come equivalente agli effetti statici) un'unica forza, pur essa diretta verticalmente e all'ingiù, eguale alla somma dei pesi di tutte le particelle, ossia al peso dell'intero corpo, e applicata in un punto ben determinato, che si chiama il centro di gravità o baricentro del corpo. Il posto occupato da questo centro di gravità rispetto alle varie particelle del corpo dipende dalla forma e dalla natura materiale di questo, non dalla orientazione in cui il corpo stesso si considera rispetto alla Terra, talché, se con un opportuno dispositivo si riesce a fissare il baricentro in modo che il corpo liberamente possa girare intorno ad esso, il corpo, finché è soggetto esclusivamente al suo peso, rimane in quiete, rispetto alla Terra, in ognuna delle infinite posizioni che può assumere intorno al baricentro (equilibrio indifferente).

Determinazione del baricentro. - Si consideri un sistema di un certo numero n di particelle estremamente piccole o punti materiali A₁, A₂,. . ., A_n. Se p_i è il peso del generico punto A_i e x_i, y_i, z_i sono le corrispondenti coordinate rispetto a una qualsiasi terna di assi Oxyz, le coordinate x₀, y₀, z₀ del baricentro del sistema materiale considerato sono date da

dove P = Σ_i p_i è il peso totale del sistema.

Questo risultato si estende a corpi quali si vogliano considerandoli come sistemi di infiniti punti materiali distribuiti con continuità lungo linee o superficie o in regioni spaziali. In tal caso si ha

dove p denota il peso specifico del corpo, come funzione del generico punto x, y, z della linea o superficie o regione spaziale S, occupata dal corpo, e P = ʃ_S pdS è ancora il peso totale. Sia nel caso delle (1), sia in quello delle (2) si riconosce senz'altro che la posizione del baricentro rimane invariata, se tutti i pesi ingrandiscono o rimpiccioliscono in uno stesso rapporto.

Se in un sistema di un numero finito di punti materiali è m_i la massa del generico punto A_i, si ha p_i = m_ig, dove g denota l'accelerazione della gravità; e, similmente, nel caso di una distribuzione continua di materia di cui sia ρ la densità (lineare o superficiale o cubica), risulta p = ρg, con che le (1), (2) assumono l'aspetto

dove M denota la massa totale del sistema ed è data rispettivamente da

Le (1′), (2′) mettono in evidenza il fatto importante che il baricentro di un sistema materiale dipende esclusivamente dalle masse che lo costituiscono e dalle loro reciproche posizioni, cosicché si può parlare di baricentro anche quando si tratti di sistemi materiali non pesanti: si pensi alle masse disseminate negli spazî celesti, al sistema solare, a un solo pianeta, ecc. Perciò il baricentro si chiama pure centro di massa o d'inerzia. Se poi la densità ρ di una distribuzione continua di materia è costante, nel qual caso il corpo si dice omogeneo, la massa totale è data, in forza della seconda delle (3), da M = ρS, dove S è la misura (lunghezza o area o volume) del corpo; e le (2′) si riducono alle

sicché il baricentro assume un senso esclusivamente geometrico, e si può parlare di "baricentro di una figura".

Proprietà del baricentro. - 1. Se un sistema materiale qualsiasi C si pensa decomposto in due sistemi C′ e C″, rispettivamente di masse totali M′ e M″, il baricentro G di C è quello del sistema costituito dalle masse M′ e M″, rispettivamente localizzate nei centri di gravità G′ G″ e di C′ e C″ (proprietà distributiva).

2. Se le masse sono distribuite in un piano o lungo una retta, G appartiene rispettivamente al piano o alla retta.

3. G è interno a ogni superficie (o curva) convessa che racchiuda tutte le masse del sistema; se le masse sono distribuite su una retta, il punto G è interno al minimo segmento che le racchiude.

4. Se un sistema C di punti materiali soddisfa alla condizione che esistano un piano π e una retta r (non parallela a π), tali che in C a ogni punto materiale P′ corrisponda un altro punto P″ di egual massa sulla parallela a r condotta per P′, alla stessa distanza da π e dalla banda opposta, il punto G appartiene a π.

Se la condizione è soddisfatta quando π e r sono ortogonali, il piano π si dice di simmetria per il sistema materiale.

5. Se esistono due piani π₁ e π₂ per i quali si verifichi la circostanza di cui sopra, G appartiene alla retta comune a π₁ e π₂. È facile enunciare le proprietà 4 e 5 quando le masse appartengono a un piano.

6. Se C è un corpo omogeneo, a ogni possibile sezione piana di S corrisponde il suo centro di gravità. Ebbene, l'insieme dei centri di gravità invade pur esso una regione dello spazio e ciò si esprime, con una locuzione dovuta a T. Levi-Civita, dicendo che il corpo è barosterico. In via approssimata, possono esistere corpi baropipedi e barogrammici, cioè rispettivamente tali che i centri di gravità di tutte le loro possibili sezioni piane si localizzino su superficie o su linee.

Baricentri di alcune figure. - Per un sistema materiale omogeneo la posizione del centro di gravità G si determina facilmente, nei casi più elementari, applicando le proprietà testé enunciate. Così il baricentro di una qualsiasi figura avente un centro di simmetria coincide con questo centro: tali sono un segmento di retta, un rettangolo, un parallelogrammo, un poligono regolare, un cerchio, un'ellisse, un parallelepipedo, un poliedro regolare, una sfera, un ellissoide, ecc.

Il baricentro di un triangolo qualsiasi è il punto comune alle sue mediane (individuate ciascuna da un vertice del triangolo e dal punto medio del lato opposto) e divide ciascuna di queste in due segmenti di cui quello dalla parte del vertice del triangolo è doppio dell'altro.

Il baricentro di un quadrangolo (non intrecciato) si ottiene considerando le due coppie di triangoli secondo cui è diviso da ciascuna diagonale e applicando la proprietà distributiva. Si è così condotti a determinare i baricentri di due coppie di punti, in ciascuno dei quali sia concentrata la massa di uno dei suddetti triangoli. I due segmenti congiungenti questi due centri di gravità s'intersecano in quello richiesto.

Così il baricentro di un poligono (non intrecciato) di n lati si ottiene decomponendolo in due modi diversi in un poligono di n-1 lati e in un triangolo e applicando la proprietà distributiva.

Il baricentro di un prisma o di un cilindro è il baricentro della sezione del solido col piano perpendicolare all'asse nel punto medio di questo.

Il baricentro di un tetraedro qualsiasi è il punto comune ai suoi piani mediani (individuati ciascuno da uno spigolo e dal punto medio dello spigolo opposto); esso è il baricentro della sezione ottenuta tagliando il solido col piano perpendicolare a una delle altezze nel punto di questa che dista dalla corrispondente base di un quarto dell'altezza medesima. E questa regola vale anche per una piramide o un cono.

Se si tratta di un arco di circonferenza di raggio r, si ponga l'origine di un sistema cartesiano ortogonale nel centro della circonferenza, cui appartiene l'arco e si scelga per semiasse positivo delle x la bisettrice dell'angolo al centro 2 α dell'arco; si ha y₀ = 0 e

dove l'integrazione va estesa all'arco. Ma

dove ϑ è l'anomalia di un punto qualsiasi dell'arco a partire dal semiasse positivo delle x. Dunque

Per una semicirconferenza, α = π/2 e x₀ = 2 r/π = 0,637 . . . × r.

Nel caso di un settore circolare di raggio r, scegliendo il sistema cartesiano come sopra, si ha y₀ = 0 e

dove l'integrazione va estesa al settore considerato. Eseguendo il calcolo si trova

essendo ρ e ϑ le coordinate polari di un punto qualsiasi del settore rispetto al semiasse positivo delle x, preso come asse polare, e all'origine, presa come polo. Dunque

e quindi il baricentro del settore sta sul raggio mediano a una distanza dal centro, che è i ⅔ di quella che compete al baricentro dell'arco corrispondente.