gradiente

gradiente

gradiente operatore differenziale vettoriale che esprime la variazione di una grandezza fisica definita nello spazio (per esempio, gradiente di pressione, gradiente termico ecc.). Nel calcolo vettoriale tale definizione si traduce in termini analitici definendo gradiente (indicato con grad) di una funzione scalare ƒ il vettore v dato dalla somma delle derivate prime di ƒ lungo le direzioni dei tre versori (sugli assi coordinati) i, j, k, ciascuna moltiplicata per il versore corrispondente.

Formalmente, il gradiente di un campo scalare ƒ = ƒ(x, y, z) di classe C¹ è il vettore che in coordinate cartesiane si esprime come

Per una funzione differenziabile vale la formula D_νƒ = ∇ƒ ⋅ v che esprime la derivata direzionale come prodotto scalare del gradiente per la direzione; dalla formula si vede come il gradiente sia il vettore che ha come direzione quella di massima variazione di ƒ, quella cioè in cui è massima la derivata direzionale. Il gradiente è un operatore vettoriale di primo grado, che trasforma una funzione scalare in un vettore; esso è invariante rispetto al riferimento scelto, cioè non dipende dalla terna di assi coordinati.