Godel

Godel

Gödel Kurt (Brno, Moravia, 1906 - Princeton, New Jersey, 1978) logico statunitense di origine austriaca. Studiò a Vienna, inizialmente con l’intento di laurearsi in fisica; ma, in seguito alla frequentazione del circolo di Vienna dei neopositivisti, di cui tuttavia non condivise mai le idee filosofiche, i suoi interessi si spostarono sempre più verso la matematica e la logica. Nel 1930 conseguì la laurea e diede la dimostrazione della completezza semantica del calcolo dei predicati, vale a dire della coincidenza della nozione di legge della logica intesa come proposizione vera in tutte le interpretazioni possibili, con la nozione di proposizione formalmente dimostrabile nel calcolo logico dei predicati. Nel 1931 venne pubblicata la sua dissertazione per il dottorato: Über formal unentscheidbare Sätze der «Principia Mathematica» und verwandter Systeme (Sulle proposizioni formalmente indecidibili dei «Principia mathematica» e dei sistemi affini), nella quale si trova esposto il cosiddetto primo teorema di incompletezza di Gödel. Secondo questo teorema all’interno di ogni sistema formale coerente che sia in grado di esprimere l’aritmetica esistono proposizioni indecidibili (rispetto alle quali il sistema non può dare una dimostrazione né di esse né della loro negazione). Il sistema viene perciò detto sintatticamente incompleto, e si dimostra che tale incompletezza è essenziale, cioè essa non è eliminabile neppure ampliando l’insieme degli assiomi in modo da riuscire a contenere la proposizione né dimostrata né refutata dal sistema. Questo clamoroso punto di arrivo delle lunghe discussioni e dissertazioni sulla fondazione logica della matematica si manifestò subito come un forte limite alla possibilità di una completa formalizzazione delle teorie matematiche. Gödel inoltre scoprì che tra le proposizioni che un sistema formale contenente l’aritmetica non riesce a decidere c’è anche quella che, in termini numerici, esprime la non contraddittorietà (o coerenza) del sistema (secondo teorema di Gödel); in pratica, stabilì che la coerenza del sistema non può essere dimostrata con mezzi formalizzabili entro il sistema. Falliva così il programma hilbertiano, che aspirava a dimostrare e a decidere la non contraddittorietà di tutta la teoria formale dei numeri sfruttando un certo frammento dell’aritmetica, la cosiddetta aritmetica finitista. Nel 1933 si recò per la prima volta allo Institute for Advanced Study di Princeton, su invito di J. von Neumann e O. Veblen, e vi ritornò definitivamente nel 1940. Tra i suoi risultati più importanti deve essere ricordato anche quello esposto nella monografia The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum hypothesis with the axioms of set theory (La consistenza dell’assioma della scelta e dell’ipotesi del continuo generalizzata con gli assiomi della teoria degli insiemi, 1940); si tratta della dimostrazione che l’ipotesi del continuo generalizzata può essere aggiunta agli altri assiomi della teoria degli insiemi, senza così introdurre contraddizioni. Risultati “minori” delle ricerche di Gödel sono l’equivalenza dell’aritmetica intuizionista con quella classica e l’interpretabilità della logica intuizionista nella logica modale classica. Nel 1958, infine, pubblicò alcuni contributi concernenti una possibilità di ampliamento della nozione di aritmetica finitista – possibilità già intravista da D. Hilbert – al fine di riproporre certi aspetti del programma hilbertiano che, nella sua forma originaria, era stato portato al fallimento da Gödel stesso. La posizione di Gödel nell’ambito della filosofia della matematica può essere definita di tipo platonico, nel senso di attribuire agli enti matematici una esistenza, sia pure ideale. Di carattere uggioso, negli ultimi anni della sua vita accentuò la diffidenza verso il prossimo giungendo alla morte per denutrizione, nel timore di essere avvelenato.