GIROSCOPIO

GIROSCOPIO

. E costituito (fig. 1) essenzialmente da un solido di rotazione S, omogeneo e massiccio, calettato ortogonalmente a un asse z di cui gli estremi sono imperniati (con tutti gli accorgimenti atti a eludere gli attriti) in una sospensione cardanica, così da rendere possibile ogni orientamento di z e ogni moto del corpo intorno al suo baricentro.

Se a S viene impressa una rotazione rapidissima intorno a z e z è puntato verso una stella fissa (riferimento assoluto), quel puntamento, sin tanto che la rotazione non si estingue, non muta. Varia però in modo evidente l'orientamento rispetto all'ambiente solidale con la Terra e costituente quindi un riferimento mobile. Così viene posta in evidenza la rotazione diurna terrestre.

A questa notevole e caratteristica facoltà dimostrativa pare risalga, secondo L. Foucault, il nome giroscopio, che si suole dare al dispositivo descritto, e quindi, quasi di conseguenza, l'attributo, ormai consueto, di giroscopico dato ad ogni fenomeno attinente a tale dispositivo (v. anche dinamica: n. 28).

Si tratta di fenomeni e fatti meccanici che non possono essere sfuggiti a nessuno, giacché ciascuno di noi ha certamente constatato un comportamento eccezionale dei solidi in rotazione di fronte alla gravità; è appena il caso di ricordare la trottola, il disco rotolante per una ripida discesa, la bicicletta, il bumerang, ecc.

Lo studio di questi fenomeni ha inizio con la meccanica analitica. Ad esso sono legati i nomi dei fondatori: D'Alembert, Eulero, Poinsot, Lagrange e Poisson. Irti di difficoltà precludenti l'adito a sistematiche trattazioni analitiche, siffatti studî non si esaurirono nelle prime ricerche, ma occuparono i fisici e i matematici per due secoli, sino ai giorni nostri.

Mentre così si andavano creando, o piuttosto adattando, i mezzi analitici più svariati per penetrare gli aspetti meno evidenti di questi fenomeni, per fornire criterî di stabilità di certi movimenti e per valutare l'influenza che su questi hanno perturbazioni di ogni tipo, il progresso tecnico, intimamente legato all'aumento di velocità inteso nel senso più generale, orientava, quasi di necessità, l'attenzione dei tecnici su quest'ordine suggestivo di questioni: forze quasi misteriose talvolta si opponevano a talune realizzazioni dell'elettromeccanica e ai nuovi indirizzi che la turbina con alto numero di giri portava nella costruzione delle macchine a vapore.

Dominata facilmente, con feconda applicazione dei risultati teorici ch'erano stati conseguiti e dei mezzi analitici già messi a punto, la natura di quelle forze e creati gli accorgimenti per fronteggiarle là dove potevano essere più insidiose, non restarono inosservate le possibilità applicative, che da esse si potevano trarre.

Così ebbero origine, dopo la grandiosa applicazione degli effetti giroscopici per la stabilizzazione dei proiettili sulla traiettoria (G. Cavalli), i timoni direttivi per le torpedini (Obry), l'orizzonte e la verticale giroscopica (G. E. Fleuriais), gl'indicatori di direzione per aeroplani (Drexler), la bussola giroscopica (delle ditte Anschütz, Kämpfe, Sperry Brown, Florentia), il monorail (L. Brennan, Scherl, Schilowsky), gli stabilizzatori per navi (O. Schlick); gli ammortizzatori di vibrazione (O. Schlick, A. Föppl). Tutta una serie di realizzazioni che, eccezion fatta per taluna, vanno sempre più diffondendosi, se non sono già addirittura di dominio universale. V. bussola; monorotaia; navigazione aerea; stabilizzatori; subacquee, armi.

1. Per dare un'idea di quest'ordine di fenomeni, sia pur circoscritta a qualche aspetto tra i più semplici, consideriamo un solido S, avente un'asse z di simmetria materiale, attorno al quale ruota con velocità angolare ω.

Riandando col pensiero alla nozione di quantità di moto (massa moltiplicata per una velocità) definiremo come momento scalare delle quantità di moto, o più brevemente momento scalare K, il prodotto

dove C designa il momento d'inerzia del solido rispetto a z, il quale, ove il solido sia costituito da punti discreti dotati di masse m₁, m₂,. . ., m_N e distanti r₁, r₂, ..., r_N da z, si ottiene come somma dei prodotti

La definizione di K risulta ben appropriata; invero, avendosi per la velocità v_i del punto generico di massa m_i, v_i = r_i ω, la rispettiva quantità di moto sarà data da m_i v_i = m_i r_i ω e quindi il corrispondente momento rispetto a z da m_i v_i r_i = m_i r_i² ω. Sommando i contributi di tutti i punti, si ha per il momento totale

cioè, per la definizione di C, effettivamente la (1).

Se il solido S, anziché esser costituito da punti discreti, è continuo, nessuna difficoltà ulteriore si presenta. In via approssimata si potrà valutare C riducendo a punti discreti le masse diffuse, oppure ricorrendo, se è data la legge di distribuzione delle masse, agli elementi del calcolo integrale.

Ciò posto, associamo allo scalare K una direzione, quella di z, e un verso tale che, dall'estremo della freccia (versore) che lo definisce, la rotazione appaia p. es. antioraria (cioè contraria al moto delle lancette dell'orologio). Perveniamo così alla nozione, che subito si dimostrerà feconda, di momento vettoriale delle quantità di moto o brevemente momento vettoriale K.

A questo nuovo ente spettano per sua definizione tutte le proprietà dei vettori; la espressiva rappresentazione geometrica, le leggi di somma o composizione (da intendersi in senso strettamente analogo a quello praticato con le forze in statica), le regole di derivazione, volte a misurare la velocità di variazione tanto della direzione quanto della quantità scalare (detta anche intensità) a essa associata.

Rileveremo che, quando la rotazione non abbia luogo unicamente attorno a un asse di simmetria materiale, cosiddetto asse giroscopico, oppure la struttura del solido sia qualunque, sussiste ancora, naturalmente, la nozione di K; ma la definizione ne è più complicata. Ma non insisteremo in merito, rimandando per maggiori ragguagli ai trattati di dinamica; solo, per dare maggior generalità alle considerazioni che andremo svolgendo, osserveremo che, ove la rotazione sia rapidissima intorno a uno di certi tre assi, che si dicono assi principali d'inerzia (v. massa), K coincide ancora, sensibilmente, con codesto asse.

In ogni caso supponiamo che sul solido S agisca una forza attiva esterna, avente rispetto al baricentro G un momento M, inteso nel senso usuale in statica, come prodotto della forza per la corrispondente distanza (braccio) da G. A codesto momento M associamo una direzione e un verso ben determinato; cioè attribuiamogli come a K (e come tacitamente si suol fare, sin dai primi elementi della statica, per le forze) un carattere vettoriale. La direzione è quella normale al piano determinato dalla forza e dal punto G; il verso è tale che un osservatore nelle condizioni di giacitura prima indicate veda il braccio, facente perno sulla forza, rotare in senso antiorario per andarvi a coincidere.

Se più sono le forze, il momento totale M sarà la somma geometrica dei rispettivi momenti, calcolata con la solita regola di composizione geometrica o, se si vuole, di composizione per le forze (regola del parallelogrammo).

Dopo queste premesse, possiamo senz'altro scrivere e intendere una relazione fondamentale, che lega K a M, cioè l'equazione cardinale dei momenti (v. dinamica: n. 16). Si ha precisamente, per l'incremento dK subito da K nel tempuscolo dt per virtù di M (fig. 2), la relazione

Dunque, l'incremento di K è parallelo al momento e quindi, poiché incremento vuol dire somma da intendersi nel senso geometrico, K tende a disporsi parallelamente al momento sollecitante. Poiché nel caso nostro K coincide con l'asse di rotazione, e in generale, come abbiamo prima rilevato, per rotazioni rapidissime intorno a un asse principale d'inerzia tale coincidenza sussiste almeno con approssimazione, concludiamo che gli assi di rapida rotazione tendono al parallelismo col momento sollecitante.

2. Per illustrare questa regola e le sue immediate e più importanti conseguenze, proviamoci a supporre che M sia costantemente normale a K e che, per sua virtù, K descriva con velocità regolare costante μ = dψ/dt la falda di un cono di apertura 2Θ.

In tali circostanze, in cui è realizzato, come si suol dire, un moto di precessione (v. cinematica: n. 31), poiché dK, in conformità con la regola, sarà sempre parallelo a M e quindi normale a K, si dovrà avere evidentemente

ovvero anche, ricordando la definizione di K, e dividendo per dt,

Poiché M non provoca manifestamente rotazione nel suo senso d'azione, concludiamo che il giroscopio reagisce con un momento M* d'intensità eguale, ma verso opposto. Questo momento reagente, generato dalle forze d'inerzia, è una diretta conseguenza del moto precessionale, così come la forza centrifuga è una conseguenza del moto circolare di un punto materiale.

Codesto momento M si manifesta attraverso alla tendenza, sperimentalmente ben nota, dell'asse di rapida rotazione a coincidere con quello di precessione.

In questa tendenza è contenuta anzi una regola, che si giustifica subito in base alle considerazioni precedenti, per ritrovarne immediatamente il verso. Ove si rappresentino le due rotazioni di velocità angolare ω e μ con due vettori ω e μ coincidenti con gli assi rispettivi e aventi senso tale che dal loro estremo esse appaiano di egual verso, p. es. antiorarie, M* agisce in modo tale da portare ω verso μ per il cammino più breve.

3. Cerchiamo di illustrare con qualche caso concreto queste considerazioni generali.

Il primo esempio, realizzabile sperimentalmente con tutta facilità, è offerto dai due dispositivi indicati nella fig. 3. Si controlla ivi facilmente che effettivamente l'incremento di K è sempre diretto nel senso d'azione del momento. Poiché questo nei due casi ha visibilmente senso opposto, le precessioni ch'esso subisce sono necessariamente, come materialmente si constata, tra loro contrarie.

Trottola. - La tendenza ben nota dell'asse di rotazione d'una trottola a disporsi verticalmente è spiegata visibilmente dalla fig. 4. In questa è disegnata, con forte ingrandimento, la punta di appoggio sul suolo. Al moto rotatorio si oppone l'attrito con una forza R, di cui il momento rispetto al baricentro G è tale da raddrizzare il momento K e quindi l'asse z.

Nave a turbina. Consideriamo una nave con propulsore a turbina, installato com'è indicato nella fig. 5. Noti il momento d'inerzia C attorno all'asse di rotazione e la velocità angolare ω (ovvero, ciò che è lo stesso, il numero n di giri nell'unità di tempo n = ω/2π), si tratta di indagare sommariamente gli effetti giroscopici più cospicui che si manifestano in navigazione.

Consideriamo dapprima la navigazione in mare calmo, con velocità uniforme w, lungo una traiettoria circolare di raggio r. In tal caso si ha per la velocità angolare μ il valore μ = w/r. Il momento reagente M* sarà quindi M* = Cωw/r e il senso, con riferimento alla figura, è tale da impennare la nave.

Al momento impennante M* corrisponde un cimento non trascurabile degli appoggi dell'asse. Codesto momento provoca infatti reazioni che possono essere anche notevoli, date in valore assoluto da

dove l designa la distanza tra gli appoggi su indicati. Così, p. es., fissando l'attenzione su un caso concreto offerto da una grande nave per passeggeri, poniamo n = 5,00 sec.^-1, peso delle parti rotanti P = 25000 kg., loro raggio d'inerzia (ρ = √C : m, m designando la massa) ρ = 1,50 m., distanza tra gli appoggi l = 5,00 m.; sia infine, considerando un forte uragano, dψ/dt = 0,25 sec.^-1.

Avendosi, ove si ponga per l'accelerazione di gravità, g = 9,81 m. sec.^-2, m = 25000 : 9,81 = 2548 kg.m.^-1 sec.², troviamo

e per la velocità angolare ω il valore ω = 2π n = 2 π • 5,00 = 31,42 sec.^-1, con che il momento reagente è dato da M* = 5734•31,42•0,25 = 45041 kgm. La reazione dovuta all'effetto giroscopico vale quindi R = ± M* : l = ± 45041 : 5,00 = ± 9008 kg., cioè quasi il 75% della reazione statica permanente P : 2 = 12500 kg.

Bibl.: Opere classiche e notevoli dal punto di vista storico: L. Euler, Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum, Rostock 1765; J. L. Lagrange, Mécanique analytique, Parigi 1788; L. Poinsot, Théorie nouvelle de la rotation des corps, Parigi 1857. Opere moderne di carattere generale: per es. T. Levi-Civita-U. Amaldi, Lezioni di meccanica razionale, II, ii, Bologna 1927; di carattere speciale: F. Klein-A. Sommerfeld, Über die Theorie des Kreisels, Lipsia 1897-1910; A. Gray, Gyrostatics and rotational motion, Londra 1918; R. Grammel, Der Kreisel und seine Anwendungen, Brunswick 1920.