GEOMETRIA

GEOMETRIA (XVI, p. 623; App. III, 1, p. 724)

L'evoluzione degli studi sulla g. negli ultimi decenni presenta alcuni caratteri comuni ad altri campi della ricerca matematica, come la tendenza all'assiomatizzazione e la sempre maggiore algebrizzazione, ma ha anche alcuni caratteri propri che non si riscontrano altrove. Il profondo intrecciarsi delle questioni geometriche tradizionalmente intese con questioni algebriche, topologiche, differenziali e aritmetiche, e la conseguente fusione in molti casi della g. con altre parti della matematica (l'algebra in particolare) non solo per quanto riguarda metodi e procedimenti ma anche alcune prospettive di fondo sui contenuti, hanno portato a una concezione moderna della g. nella quale stenta a riconoscersi la g. tradizionale, ispirata ad alcune forme elementari d'intuizione dell'esperienza umana. Ciò ha portato peraltro anche a uno scambio, rivelatosi assai proficuo, che ha permesso di trasferire in altri campi i vantaggi derivanti da una visione geometrica dei problemi.

Ci limitiamo in questa sede ad accennare ad alcuni dei principali metodi e risultati recenti nel campo della g. algebrica e delle g. finite, rinviando ad altre voci per il complesso dei problemi collegati con gli sviluppi della g. differenziale e le loro implicazioni con altre parti della matematica (in particolare alle v. equazioni; funzionale, analisi; tensoriale, algebra e analisi; topologia; varietà, in questa Appendice).

Geometria algebrica.

In g. algebrica da una parte si nota un'accentuazione della spinta verso l'algebrizzazione, specialmente con lo sviluppo della teoria degli schemi (A. Grothendieck, J. P. Serre, ecc.); d'altra parte si nota lo sviluppo di una corrente (che fa capo a D. Mumford) nella quale è sempre più evidente lo sforzo di tornare alle fonti genuine dell'ispirazione geometrica, nella tradizione della scuola italiana, al duplice scopo di dare un assetto rigoroso alla g. algebrica classica, e di confrontare in modo produttivo risultati e metodi "classici" con i "moderni". Tralasciamo di parlare di filoni ormai acquisiti come classici, quali, per es., quello di F. Hirzebruch (impiego sistematico di metodi topologici in g. algebrica), o quello di W. V. D. Hodge (impiego di strumenti dell'analisi complessa) che riguardano una varietà algebrica rispettivamente come varietà topologica o come varietà complessa, o di O. Zariski (impiego dell'algebra commutativa) o di A. Weil (costruzione delle varietà astratte sopra un corpo base k arbitrario), e sui quali è già stato riferito. Osservando soprattutto gli aspetti più recenti, possiamo dire che negli ultimi quindici anni la g. algebrica si è sviluppata rapidamente in diverse direzioni, giungendo tra l'altro a un approfondimento delle conoscenze sulle varietà di dimensione > 2 (specialmente sulle singolarità e lo studio delle sottovarietà), alla scoperta di collegamenti nuovi tra le proprietà topologiche e quelle aritmetiche, alla creazione della teoria delle varietà di moduli.

Metodi recenti in geometria algebrica. - Nel corso della sua evoluzione storica la g. algebrica ha mutato la definizione del suo oggetto di studio, cioè la nozione di "varietà algebrica"; si è passati infatti, cambiando prospettive e metodi, dalle varietà affini e proiettive, alle varietà algebriche astratte, agli schemi e agli spazi algebrici. In questa evoluzione si notano due aspirazioni costanti: raggiungere una sempre maggiore generalità e realizzare una teoria sempre più intrinseca, assoluta, cioè indipendente dagli strumenti usati per costruirla. Questo modo di procedere ha condotto da una parte a sviluppare nuovi concetti e metodi, rivelatisi poi utili anche nello studio della varietà nell'accezione classica, e d'altra parte a estendere il campo di applicabilità della g. algebrica, attraverso i successivi ampliamenti della nozione di varietà algebrica.

Nel passaggio dall'impostazione classica a quella moderna si nota una sorta d'inversione nel modo di procedere. Infatti, nell'impostazione classica il punto di partenza per lo studio delle varietà algebriche è un insieme di punti di uno spazio affine o proiettivo a n dimensioni, che corrisponde alle soluzioni di un sistema di equazioni algebriche a coefficienti in un campo k, e che costituisce il supporto della "varietà V"; la conseguente necessità di rendere indipendenti dal particolare sistema di equazioni le proprietà algebriche di quell'insieme, e di studiare quindi la varietà in maniera intrinseca conduce in modo naturale ad associare a essa determinati enti algebrici (anello delle funzioni regolari k [V], corpo delle funzioni razionali k (V), ecc.) le cui proprietà permettono d'individuare altrettante proprietà invarianti della varietà V. Nell'impostazione moderna invece il punto di partenza è un oggetto algebrico, generalmente, un anello A di un certo tipo, anche più generale di k [V]; successivamente la varietà algebrica viene definita come un oggetto geometrico opportunamente associato all'anello A, in modo naturalmente compatibile con la definizione precedente. Un grande impulso in tale direzione è venuto dall'opera di A. Weil e della sua scuola, e più recentemente dall'opera di A. Grothendieck (costruzione della teoria degli "schemi", che generalizzano le varietà algebriche).

L'importanza delle modenne teorie algebriche risiede nel fatto che esse non soltanto rappresentano una sistemazione invariante e una generalizzazione della teoria classica delle varietà algebriche sul corpo complesso, ma allargano anche, come abbiamo detto, il campo di applicazione della g. algebrica. E ciò accade in più di una direzione. A titolo di esempio osserviamo che l'anello k [V] in senso classico è un anello di tipo piuttosto particolare (si tratta infatti di un'algebra finitamente generata sul corpo k), mentre la moderna nozione di schema consente di sostituire a esso un anello A commutativo arbitrario; ciò consente tra l'altro, se si prende come anello A l'anello degli interi Z, ovvero un anello di interi in un corpo di numeri algebrici, di fare certe applicazioni della teoria degli schemi alla teoria dei numeri, permettendo in certo senso di usare in quest'ultimo campo i metodi suggeriti dall'intuizione geometrica.

Un importante strumento per analizzare la struttura delle varietà algebriche, è anche quello offerto dalla teoria dei fasci algebrici coerenti, sviluppata principalmente da J. P. Serre. Questa teoria si rifà al modello della teoria dei fasci analitici coerenti di H. Cartan e dello stesso Serre, che tanto sviluppo ha dato allo studio delle varietà analitiche, e permette di basare la definizione di varietà algebrica sulla nozione di fascio. Nel passaggio dalle varietà analitiche alle varietà algebriche, le funzioni regolari polinomiali prendono il posto delle funzioni olomorfe, e le funzioni razionali prendono il posto delle funzioni meromorfe.

Risultati sulle superfici e varietà algebriche. - Riduzione delle singolarità. - Dopo i risultati di O. Zariski sulla riduzione delle singolarità per le varietà algebriche a tre dimensioni, si è registrata un'intensificazione degli studi su questo problema basilare che consiste, grosso modo, nella costruzione di una varietà non singolare equivalente a una varietà algebrica assegnata.

Il problema, che fin dai primordi della g. algebrica è stato formulato e affrontato per i primi valori della dimensione, soltanto oggi, grazie ai potenti mezzi algebrici a disposizione, è giunto a soluzione nel caso generale. E merito di H. Hironaka aver dato la soluzione di questo importante problema per le varietà di dimensione qualunque (su un corpo di caratteristica zero). Si tratta di un contributo fondamentale non soltanto per il brillante risultato che ha condotto a risolvere uno dei problemi centrali della g. algebrica da tanto tempo sul tappeto, ma anche per il valore intrinseco dei metodi e delle tecniche ideati per la sua risoluzione, che si sono rivelati estremamente significativi per l'intera g. algebrica. Successivi contributi al problema dello scioglimento delle singolarità si sono registrati anche nel caso in cui il corpo ha una caratteristica p > 0, limitatamente però alle superfici algebriche (varietà di dimensione 2).

Problemi di razionalità. - Ampio spazio è stato dato anche allo studio dei problemi di razionalità e unirazionalità delle varietà algebriche.

Nel campo delle varietà a tre dimensioni va segnalato un importante risultato di C. Clemens e P. E. Griffiths sull'irrazionalità della varietà cubica complessa a tre dimensioni, problema anche questo da tempo all'attenzione degli studiosi e rimasto a lungo non risolto.

Classificazione delle superfici. - D. Mumford, portando avanti un programma già iniziato da O. Zariski, ha contribuito considerevolmente a estendere la classificazione delle superfici dovuta a F. Enriques dal caso del corpo complesso al caso di un corpo di caratteristica p > 0, dove s'incontrano difficoltà di tipo nuovo. Va ricordata in questo campo la collaborazione decisiva di E. Bombieri, anche per quanto attiene ad alcune delicate questioni di teoria dei numeri.

Tra i risultati più notevoli di Mumford ricordiamo la caratterizzazione topologica delle singolarità (o meglio dell'assenza di singolarità); in parole povere, il risultato afferma che la regolarità topologica implica la regolarità algebrica. È notevole osservare che risultati di questo tipo non sono estendibili alle varietà di dimensione superiore. Questi studi hanno offerto lo spunto per mettere in evidenza interessanti collegamenti tra la g. algebrica e la topologia differenziale.

Varietà di moduli. - Molto interessanti anche le recenti ricerche sulla teoria delle varietà di moduli. Si tratta di un campo di ricerche che occupa una posizione centrale nella g. algebrica (non soltanto di oggi) e che ha le sue lontane origini nella teoria degl'integrali ellittici. Le indagini in questo campo mirano a stabilire l'esistenza e le proprietà della "varietà di moduli" i cui punti rappresentino le classi di equivalenza di oggetti geometrici di un certo tipo (curve di dato genere, varietà di Picard di data dimensione, ecc.). Si tratta evidentemente di una generalizzazione del classico problema dello studio dei "moduli" delle curve algebriche, che consente in qualche modo di studiare la variazione delle varietà algebriche entro opportune famiglie (le varietà di moduli) al variare di certi parametri (i moduli stessi).

Importanti passi avanti (prevalentemente in caratteristica p = 0, ma con possibilità di estensione alla caratteristica p > 0), sono stati compiuti dal Mumford, che è riuscito a sviluppare diversi aspetti della teoria, fondendo i metodi classici con le tecniche moderne. La teoria delle varietà di moduli, con le sue larghe implicazioni, ha stimolato lo sviluppo di teorie collaterali, quali la teoria algebrica delle funzioni theta, le teorie dell'uniformizzazione p-adica e delle immersioni toroidali. Alcune di queste teorie permettono di studiare la struttura dei punti al contorno delle varietà di moduli (che rappresentano curve o varietà in qualche modo degeneri) e di chiarire quindi il modo di degenerare di una curva o varietà regolare.

Altri contributi. - Non è possibile nel breve spazio disponibile (e non è questa la sede adatta per farlo) offrire un quadro completo dello stato attuale degl'indirizzi di ricerca in g. algebrica, molti dei quali per i loro collegamenti con altre parti della matematica, portano fuori campo della g. algebrica in senso stretto.

Accennando solo ad alcuni di tali indirizzi e indicando per ciascuno di essi solo alcuni degli autori che se ne sono occupati, ricordiamo i contributi: di B. Segre, E. Marchionna, E. Vesentini sugl'invarianti dei sistemi di sottovarietà; di A. Andreotti per i collegamenti con l'analisi complessa; di I. Barsotti e J. Jgusa per le varietà di gruppo e abeliane; l'opera di C. L. Siegel per i collegamenti con la teoria delle funzioni automorfe; di K. Kodaira e D. C. Spencer per la teoria delle deformazioni.

Geometrie finite e strutture combinatorie.

Le ricerche sulle strutture geometriche finite si sono sviluppate negli ultimi tempi in misura considerevole. Accenniamo ad alcuni dei problemi tipici che s'incontrano in questo campo, e che sono interessanti non solo in sé stessi ma anche per le loro applicazioni in altri campi; si tratta infatti di un complesso di questioni in cui confluiscono e s'influenzano reciprocamente idee di natura geometrica, algebrica e combinatoria.

La teoria generale dei "disegni", che studia strutture d'incidenza generali comprendenti molte delle strutture precedentemente note, tra cui gli spazi affini e proiettivi, ha fornito con il suo sviluppo una struttura combinatoria di base per la costruzione delle g. finite. Rinviamo il lettore al volume di P. Dembowski citato nella bibliografia per un quadro completo sugli aspetti geometrici di questa teoria, e al volume di H. Crapo, G. C. Rota per le questioni più strettamente combinatorie.

Una posizione centrale nelle ricerche sulle g. finite è da tempo occupato dai piani proiettivi finiti, sui quali ci soffermeremo più avanti; nel frattempo però altre strutture hanno acquistato importanza e hanno raggiunto oggi uno sviluppo indipendente. L'intero campo di ricerca è fortemente influenzato, com'è facile comprendere, dai metodi e dai risultati della teoria dei gruppi finiti, sopratutto per l'importanza che ha lo studio dei gruppi di automorfismi di una struttura geometrica. D'altra parte accade spesso che gli strumenti tipici delle g. finite servano a dimostrare risultati della teoria dei gruppi finiti, attuandosi in tal modo un fruttuoso scambio tra i due campi.

Tra coloro che hanno contribuito in tempi più o meno recenti alla costruzione delle g. finite ricordiamo soltanto alcuni nomi (oltre agli autori citati nella bibliografia): J. Andrè, A. Barlotti, R. C. Bose, M. Hall, D. R. Hughes, H. Lenz, H. Lüneburg, T. G. Ostrom, G. Panella, L. Lombardo Radice, L. A. Rosati, G. Tallini, J. Tits, G. Zappa.

Piani proiettivi. - Un problema fondamentale è quello della classificazione dei piani proiettivi. Tra i diversi criteri di classificazioni assai penetrante si è rivelato quello basato sulla cosiddetta "(C, a)-transitività" (un piano proiettivo π si dice (C, a)-transitivo se esiste un punto C e una retta a tali che per ogni coppia di punti P, P′ allineati con C, ma distinti da C e non appartenenti ad a, esiste una (C, a)-prospettività cioè una prospettività di centro C e asse a che porta P in P′.). La classificazione viene allora fatta in base al numero e alla configurazione delle (C, a)-prospettività di cui il piano è dotato, e si conclude con l'assegnazione di tutti i casi possibili per tali configurazioni. Tale classificazione è dovuta all'opera di H. Lenz e A. Barlotti (classificazione di Lenz-Barlotti) e ha validità per i piani proiettivi sia finiti che infiniti.

Strettamente legato al precedente è il problema dell'esistenza di piani proiettivi appartenenti alle varie classi che la classificazione indica come possibili. Il problema, studiato da numerosi autori, non è ancora completamente risolto; evidentemente ha interesse sia la dimostrazione dell'esistenza di piani di un determinato tipo, generalmente data mediante la costruzione di esempi concreti, sia la dimostrazione dell'impossibilità dell'esistenza. Ciò ha dato una spinta notevole alla ricerca e allo sviluppo di tecniche per la costruzione di piani finiti di vario tipo, anche di classi particolari soddisfacenti ulteriori condizioni. Nonostante i progressi compiuti, rimangono ancora senza risposta molti interrogativi sull'esistenza di tali piani. Senza entrare nel merito di altri argomenti specifici di ricerca sui piani finiti, osserviamo che la teoria dei piani finiti e quella dei piani infiniti non solo non sono staccate tra loro, ma spesso si compenetrano e interagiscono una con l'altra, consentendo in alcuni casi di trasferire metodi e tecniche da un campo all'altro.

Geometrie di Galois. - Nel campo delle g. di Galois è proseguita l'analisi dei problemi aritmetici collegati allo studio dei k-archi nel piano e delle k-calotte in spazi di dimensione superiore. Gli sforzi tendono a stabilire nuove, o a migliorare precedenti relazioni aritmetiche tra i caratteri interi che intervengono, allo scopo di dimostrare l'esistenza o meno di configurazioni geometriche soddisfacenti determinate condizioni. Contributi in questo campo sono dovuti a B. Segre, R. C. Bose, G. Tallini, A. Barlotti e numerosi altri autori. Si tratta di problemi che, studiando configurazioni in spazi con un numero finito di punti, hanno collegamenti diretti con problemi combinatori più generali, e hanno riflessi applicativi in altri campi anche al di fuori dello stretto ambito matematico (per es., la statistica).

Altre strutture. - Si è anche notevolmente sviluppato lo studio di strutture geometriche diverse, quali, per es., i piani inversivi (P. Dembowski, R. Permutti), le g. parziali (R. C. Bose) che hanno strette relazioni anche con la teoria dei gruppi, gli spazi affini deboli (E. Sperner), gli spazi generali (G. Zappa), gli pseudo-piani (R. Sandler).

Bibl.: Per la geometria algebrica: J. P. Serre, Faisceaux algébriques cohérents, in Annals of mathem., 1955; A. Grothendieck, Eléments de géométrie algébrique, in più volumi, Parigi 1960 segg.; A. Weil, Foundations of algebraic geometry, A. M. S. Providence, Rh. I., 1962; D. Mumford, Geometric invariant theory, Berlino 1965; J. P. Serre, Algèbre locale. Multiplicités, ivi 1965; S. S. Abhyankar, Resolution of singularities of embedded algebraic surfaces, New York e Londra 1966; D. Mumford, Lectures on curves on an algebraic surface, Princeton 1966; id., Introduction in algebraic geometry, Harward 1967; P. Samuel, Méthodes d'algèbre abstraite en géométrie algébrique, Berlino 1967²; W. Fulton, Algebraic curves, New York 1969; C. L. Siegel, Topics in complex function theory, 3 voll., New York e Londra 1969-73; D. Mumford, Abelian varieties, Londra 1970; A. Grothendieck, J. A. Dieudonné, Eléments de géometrie algébrique I, Berlino e New York 1971; O. Zariski, Algebraic surfaces, Berlino 1971; B. Segre, Prodromi di geometria algebrica, Roma 1972; I. R. Shafarevich, Basic algebraic geometry, Berlino e New York 1974.

Per le geometrie finite e strutture combinatorie: B. Segre, Lectures on modern geometry, Roma 1961; P. Dembowski, Finite geometries, Berlino 1968; H. Crapo, G. C. Rota, Combinatorial geometries, Cambridge, Mass., 1970; F. Bachmann, Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff, Berlino 1973; B. Segre, Convegno sulle teorie combinatorie, in Atti Acc. Lincei, Roma 1973; G. Pickert, Projektive Ebenen, Berlino 1976²; W. Benz, Geometrie der Algebren, ivi 1976.