geometria proiettiva

geometria proiettiva

geometria proiettiva settore della geometria che studia gli spazi e le loro trasformazioni, prescindendo dalle proprietà metriche dello spazio e dalla nozione di parallelismo. La geometria proiettiva studia in particolare le trasformazioni che lasciano invariate le proprietà grafiche delle figure, trasformazioni effettuate mediante un numero finito di proiezioni e sezioni. Le origini remote della geometria proiettiva risalgono alle regole della → prospettiva studiate e applicate dagli artisti del rinascimento; tali regole si proponevano di dare un modello matematico che potesse inquadrare coerentemente la geometria della visione e concetti quali punti di fuga, linea o piano orizzonte, figure prospettiche. Le prime formulazioni si possono ritrovare nei teoremi di G. Desargues e B. Pascal, ma una compiuta sistemazione come disciplina scientifica si ebbe solo nell’Ottocento con C.J. Brianchon e J.-V. Poncelet. Le figure, o forme, fondamentali della geometria proiettiva (piana o spaziale) sono: forme di prima specie (retta punteggiata, fascio di rette, fascio di piani); forme di seconda specie (piano punteggiato, piano rigato, stella di rette, stella di piani); forme di terza specie (spazio punteggiato, spazio di piani) ecc. Fondamentali per la geometria proiettiva sono le operazioni di proiezione e sezione, che mutano ciascuna forma in una forma della stessa specie. Per esempio, nello spazio tridimensionale, proiettare da un punto S (centro di proiezione) una figura F vuol dire tracciare tutte le rette passanti per S e per i punti di F, mentre sezionare con un piano σ (piano di sezione o quadro) una figura G, composta di rette, vuol dire determinare i punti di intersezione tra σ e G. La figura ottenuta su σ si chiama sezione o traccia di G. Componendo le due operazioni si ottiene l’operazione di proiezione da un centro S su un piano σ. Nella rappresentazione prospettica di un oggetto reale, si ha una proiezione che ha come centro l’occhio di un osservatore e come quadro un piano, posto tra l’occhio e l’oggetto. Ogni retta che passa per il centro di proiezione è rappresentata da un punto del quadro, così come una retta che interseca l’occhio appare come un solo punto. Nella geometria dell’occhio le grandezze degli oggetti non sono più valutabili, perché manca la profondità. Dal punto di vista geometrico, nel piano, l’operazione di proiezione di una data retta r da un punto S equivale a stabilire una corrispondenza tra i punti di r e le rette del fascio di centro S e, affinché l’operazione di proiezione non sia soggetta, in generale, a nessuna limitazione, è necessario rendere biunivoca senza eccezioni tale corrispondenza tra la punteggiata r e il fascio di centro S. Per questo alla retta r viene aggiunto un punto improprio o punto all’infinito. Tale punto rappresenta la direzione della retta ed è il punto che essa ha in comune con tutte le sue parallele. In tal modo ogni retta viene completata da un punto improprio e ogni piano dalla sua retta impropria o retta all’infinito, costituita da tutti i punti impropri di tutte le sue rette. Nella geometria proiettiva, però, a differenza di quanto accade nella geometria affine, non c’è distinzione tra elementi propri e impropri: tutti i punti di una retta e tutte le rette di un piano sono considerati allo stesso modo. Ciò ha come conseguenza che la nozione di parallelismo non ha più senso: due rette distinte di un piano hanno sempre uno e un solo punto in comune e due piani hanno sempre in comune una e una sola retta. L’estensione agli elementi impropri di tutte le proprietà valide per quelli propri permette di esprimere le proposizioni della teoria in modo più sintetico e compatto. Per esempio, i teoremi di → Desargues e di → Pascal, che riguardano alcune configurazioni di rette nel piano e relazioni di incidenza e appartenenza, in ambito euclideo richiedono enunciati distinti a seconda che si verifichino o meno certe condizioni (parallelismo, elementi al finito ecc.), mentre nel piano proiettivo si esprimono con un unico enunciato che ha carattere generale. Per quanto riguarda le coniche, la classificazione affine fatta in base alla posizione di una conica rispetto alla retta impropria viene a cadere: tutte le coniche sono proiettivamente equivalenti.

La sistemazione assiomatica della geometria proiettiva si basa su alcuni concetti primitivi quali per esempio: punto, retta, piano, …, relazione di appartenenza, relazione di incidenza, e su alcuni assiomi grafici che consentono di definire univocamente le operazione di proiezione e sezione. Nel caso dello spazio tridimensionale essi sono:

a) due punti individuano una retta a cui appartengono;

b) tre punti che non appartengono a una stessa retta individuano un piano a cui essi appartengono;

c) un punto e una retta che non si appartengono individuano un piano al quale appartengono entrambi;

d) due piani individuano una retta che appartiene a entrambi;

e) tre piani che non passano per una stessa retta individuano un punto;

f) un piano e una retta che non si appartengono individuano un punto.

Gli assiomi d), e), f), sono le proposizioni duali, rispettivamente, degli assiomi a), b), c) e viceversa: ogni assioma si muta in un altro se si scambiano tra loro le parole «punto» e «piano», mantenendo le relazioni di appartenenza (→ dualità). Ciò comporta che ogni teorema dedotto dai soli assiomi grafici è valido insieme al suo duale.

Le coordinate omogenee costituiscono lo strumento analitico idoneo a rappresentare tutti i punti, senza distinzioni tra propri e impropri. Nel piano proiettivo ogni punto è rappresentato da una terna di → coordinate proiettive (omogenee); nello spazio proiettivo tridimensionale da una quaterna; in generale, in uno spazio proiettivo di dimensione n, da una (n + 1)-pla di coordinate proiettive. Il sistema di riferimento del piano proiettivo è individuato dai punti (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) che costituiscono il triangolo fondamentale del riferimento proiettivo. L’utilizzo dell’algebra lineare permette di trattare la geometria proiettiva in modo molto più efficace e conciso di quanto non si possa fare per via assiomatica. Con gli strumenti dell’algebra lineare sono state studiate le coniche, che, in quanto individuate da sei parametri omogenei, possono essere considerate come punti di uno spazio proiettivo a 5 dimensioni.

L’introduzione degli elementi impropri e la identificazione di una retta (raggio della proiezione) con un punto (traccia della retta sul quadro) corrispondono, rispettivamente, a due diverse ma equivalenti definizioni generali di spazio proiettivo di dimensione n:

• lo spazio proiettivo n-dimensionale P ⁿ è l’unione di V ⁿ e di tutti i suoi “punti all’infinito”, essendo V ⁿ lo spazio vettoriale di dimensione n;

• lo spazio proiettivo n-dimensionale P ⁿ è definito come l’insieme delle rette in V ⁿ⁺¹ passanti per l’origine, essendo V ⁿ⁺¹ lo spazio vettoriale di dimensione n + 1.

Nella seconda definizione lo spazio proiettivo P ⁿ è ottenuto come insieme quoziente di uno spazio vettoriale V ⁿ⁺¹, rispetto alla relazione di dipendenza lineare tra vettori.

Operando su una figura F con operazioni di proiezione e sezione, si ottiene una nuova figura F′. La trasformazione che porta F in F′ è detta → proiettività o trasformazione proiettiva, e due figure che si corrispondono in una proiettività sono dette figure proiettivamente equivalenti. Nel piano, ogni trasformazione proiettiva è univocamente individuata assegnando tre punti non allineati A, B, C e i loro trasformati A′, B′, C′, anch’essi non allineati. In generale, in uno spazio P ⁿ una proiettività risulta determinata assegnando n + 1 punti non appartenenti a uno stesso iperpiano e i loro trasformati, anch’essi non appartenenti a uno stesso iperpiano (teorema fondamentale delle proiettività).

Le trasformazioni proiettive formano un gruppo rispetto all’operazione di composizione di trasformazioni. Il gruppo delle proiettività costituisce, nella classificazione di F. Klein, esposta nel programma di Erlangen, uno dei gruppi fondamentali. La geometria proiettiva, secondo tale impostazione, è dunque la geometria che studia le proprietà invarianti in una trasformazione proiettiva. Esempi di invarianti proiettivi sono: 1) l’allineamento di tre punti; 2) l’appartenenza di tre rette distinte a uno stesso fascio; 3) il birapporto di quattro punti allineati.