geometria non archimedea
geometria non archimedea
geometria non archimedea geometria in cui non vale l’assioma di → Archimede, secondo cui dati due segmenti di diversa lunghezza esiste sempre un multiplo del minore che supera il maggiore. Un esempio di geometria non archimedea è fornito dal matematico italiano G. Veronese, che introdusse tale tipo di geometria in una memoria del 1891: in un piano α si considera un fascio di rette parallele all’asse x, e quindi di equazioni y = h per qualche h ∈ R, e si definisce la relazione ≤ tra i punti del piano, d’ordine totale, in questo modo:
• se i punti A e B appartengono alla stessa retta del fascio, A ≤ B se e solo se xA ≤ xB;
• se i punti A e B appartengono a rette diverse del fascio, A ≤ B se e solo se yA ≤ yB.
Si definisce segmento, in tale geometria, ogni insieme s(PQ) così definito: s(PQ) = {A ∈ α: P ≤ A e A ≤ Q}, ma si identifica s(QP) con s(PQ). Si considerano ora i punti R e S di ordinate yR = yS = yh e con R ≤ S e il punto T di ordinata yT > yh. Definiti la congruenza, il confronto tra segmenti e il loro trasporto in modo analogo a quello del piano ordinario, si può definire il multiplo di un segmento s(RS) secondo il numero naturale n come il segmento s(RX), in cui X è un altro punto del piano, ancora di ordinata yh, che risulta dal trasporto, effettuato n −1 volte sulla sua stessa retta, del segmento s(RS). Supposto s(RS) < s(RT), nessuno dei successivi multipli s(RX1), s(RX2), …, s(RXn) del segmento s(RS) può superare il segmento s(RT) perché comunque, qualunque sia i, risulta Xi ≤ T perché yh < yT. Pertanto, in tale geometria non vale l’assioma di Archimede.