geometria frattale
geometria frattale
geometria frattale ambito della matematica sviluppatosi a partire dai primi del Novecento, periodo a cui risalgono i primi studi a opera di G. Julia. Le sue intuizioni sono state poi riprese e sistematizzate a metà degli anni Settanta dal matematico polacco B. Mandelbrot, considerato il fondatore della teoria dei frattali. Solo con l’avvento dei computer, tuttavia, è stato possibile associare alle formule della teoria immagini grafiche precise e, per altro, di straordinaria bellezza. Oggetto di studio di questo settore della matematica sono i → frattali, particolari enti geometrici aventi caratteristiche differenti dagli ordinari oggetti della geometria quali i segmenti, i poligoni, le curve o i solidi e le superfici tradizionali. Un frattale è un oggetto geometrico che replica la sua struttura su scale diverse, nel senso che ingrandendo una sua parte è possibile riprodurre l’intera configurazione iniziale. Questa proprietà, detta → autosomiglianza o autosimilarità, è valida anche per figure non frattali (per esempio, un quadrato può essere scomposto in quattro quadrati più piccoli), ma la differenza tra le figure della tradizionale geometria euclidea e le figure frattali consiste nella dimensione che, per i frattali, non è rappresentata da un numero naturale, ma da un numero reale non negativo. La dimensione frattale (→ Hausdorff, dimensione di) è data dalla formula
nella quale N indica il numero di figure identiche all’originale che si generano a ogni iterazione, r indica il rapporto tra le dimensioni lineari della figura originale e quelle della sua corrispondente al passo successivo.
Tra i frattali più famosi, oltre all’isola di → Koch, e alla polvere di → Cantor, vanno ricordati gli insiemi di → Julia, la spugna di → Sierpińsky e l’insieme di → Mandelbrot.
La geometria frattale ha numerose applicazioni, quali la compressione dei dati, la dinamica dei sistemi non lineari, la descrizione di oggetti e fenomeni naturali (meteorologia, ecologia, fluidodinamica ecc.). Gli oggetti della geometria ordinaria, quali poligoni, cerchi, curve algebriche, non sembrano idonei a rappresentare la struttura di una conifera, la linea di un tratto di costa, il profilo di una montagna. Le irregolarità e complessità della natura non sono riconducibili a luoghi di punti definiti da semplici condizioni geometriche o analitiche. Sembrano più adatti a una rappresentazione delle forme e dei fenomeni della natura gli strumenti della geometria frattale e per questa ragione si è sviluppato, intorno al 1980, lo studio dei frattali biomorfi, simili a oggetti presenti in natura. Si osserva infatti che una felce, un cavolfiore, un’infiorescenza di mimosa, per esempio, osservati a diverse scale mostrano la stessa struttura, godono cioè, entro certi limiti, della proprietà dell’autosomiglianza. La presenza in natura di forme frattali è spesso legata alla funzionalità degli oggetti che presentano tali forme. In anatomia, per esempio, si osservano strutture frattali nel sistema arterioso e bronchiale interno ai polmoni. Si tenga presente che la superficie attraverso la quale avviene lo scambio dell’ossigeno ha un’area complessiva di molte centinaia di metri quadrati, pur essendo racchiusa in un volume di pochi decimetri cubi. Solo strutture matematiche con grandi irregolarità quali sono i frattali possono offrire una descrizione (approssimata) dell’irregolarità delle forme della natura. Nella rappresentazione dell’equazione logistica della dinamica di popolazione, quando il valore del parametro genera un regime caotico instabile si ricorre a un diagramma di biforcazione, la cui struttura è di tipo frattale. Presentano struttura frattale anche gli attrattori strani, insiemi di punti verso cui convergono alcuni sistemi dinamici dopo un tempo sufficientemente lungo (→ caos, teoria del).
La tecnica comunemente usata per ricavare un’immagine colorata di un frattale consiste nel suddividere la zona di divergenza del piano in sottozone distinte in base alla velocità con cui il sistema diverge. A ogni sottozona viene associato un colore diverso e scegliendo opportunamente la scala dei colori in base alla divergenza si possono generare immagini esteticamente molto apprezzabili.