geometria euclidea
geometria euclidea
geometria euclidea locuzione con la quale si intende in primo luogo la sistemazione su basi ipotetico-deduttive della geometria del piano e dello spazio operata da Euclide (sec. III a.C.) negli Elementi. Tale testo, in 13 libri, ha rappresentato, per oltre venti secoli, il modello di riferimento di ogni possibile geometria, fino alla nascita, nei primi decenni del xix secolo, delle cosiddette → geometrie non euclidee. Gli Elementi di Euclide costituiscono il primo e forse più importante trattato di matematica della storia, non soltanto per i contenuti esposti, che rappresentano una summa delle conoscenze geometriche dell’epoca, ma soprattutto per il metodo deduttivo che vi è magistralmente impiegato. In particolare, negli Elementi, la geometria del piano è trattata nei primi sei libri, mentre quella dello spazio negli ultimi tre. Tutta l’opera si fonda su alcuni principi enunciati nel primo libro; tali principi risultano suddivisi in 23 termini, 5 postulati e 5 nozioni comuni.
I termini sono una sorta di definizioni per descrivere alcuni enti di base. Per esempio, punto, retta, piano, superficie, angolo, rette perpendicolari, rette parallele, cerchio, centro del cerchio, sono così presentati:
• punto è ciò che non ha parti;
• linea è una lunghezza senza larghezza;
• gli estremi di una linea sono punti;
• una retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai suoi punti;
• una superficie è ciò che ha soltanto larghezza e lunghezza;
• un angolo piano è l’inclinazione reciproca di due linee in un piano le quali si incontrino e non giacciano in linea retta;
• dicesi cerchio una figura piana delimitata da un’unica linea tale che tutte le rette che terminano su di essa a partire da un medesimo punto fra quelli interni alla figura, siano uguali fra loro;
• …
I postulati sono proposizioni riferibili ad alcuni termini, ritenute vere sulla base di una loro intrinseca evidenza e che non necessitano di alcuna dimostrazione; sono proposizioni che si chiede (postula) di condividere senza dimostrazione come presupposti su cui fondare ulteriori ragionamenti e dimostrazioni. Detti anche assiomi di Euclide, sono i seguenti:
a) è possibile condurre una linea retta da un qualsiasi punto a un qualsiasi altro punto;
b) è possibile prolungare illimitatamente una retta finita in linea retta;
c) è possibile descrivere un cerchio con qualsiasi centro e distanza qualsiasi;
d) tutti gli angoli retti sono uguali tra loro;
e) se (in un piano) una retta, intersecando altre due rette, forma con esse, da una medesima parte, angoli interni la cui somma è minore di due retti, allora queste due rette indefinitamente prolungate finiscono per incontrarsi dalla parte detta (è questo il famoso quinto postulato di Euclide).
Le nozioni comuni (o assiomi), infine, esprimono principi generali, di natura logica, alla base del ragionamento deduttivo. Esse sono le seguenti:
a) cose uguali a una medesima sono uguali tra loro;
b) se a cose uguali si aggiungono cose uguali, allora si ottengono cose uguali;
c) se da cose uguali si tolgono cose uguali, allora si ottengono cose uguali;
d) cose che possono essere portate a sovrapporsi l’una con l’altra sono uguali tra loro;
e) il tutto è maggiore della parte.
A partire da tali principi vengono introdotte le definizioni (triangolo, poligono, mediana, diedro ecc.) e dedotti i teoremi (teoremi di Euclide, di Pitagora, di Talete, criteri di uguaglianza e di similitudine ecc.) della geometria elementare. Ogni lemma, teorema o corollario è ricavato con procedimenti ipotetico-deduttivi. Gli strumenti principali utilizzati nella elaborazione della teoria sono la dimostrazione e la costruzione. Gli strumenti usati per le costruzioni sono riga e compasso, intesi nel senso euclideo, cioè come strumenti teorici perfetti prolungabili a piacere.
L’opera di Euclide rappresenta un imponente tentativo di completamento e sistemazione organica su base razionale del sapere matematico dell’epoca. Le conoscenze matematiche sino ad allora acquisite, spesso di natura empirica, vengono dedotte negli Elementi con argomentazioni di natura logico-deduttiva ed espresse in proposizioni la cui verità si fonda sui postulati o su altre proposizioni dedotte in precedenza. Strumento fondamentale della geometria euclidea è la dimostrazione.
Nel 1899 la teoria fu risistemata da D. Hilbert che, per superare alcune contraddizioni interne al sistema euclideo, sostituì gli assiomi di Euclide con un sistema formale di 21 assiomi, suddivisi in cinque gruppi: assiomi di collegamento; assiomi di ordinamento; assiomi di congruenza; assioma della parallela; assiomi di continuità (→ Hilbert, assiomi di). Nel sistema assiomatico di Hilbert viene eliminata la distinzione fatta da Euclide tra postulati e nozioni comuni; tutte le assunzioni fatte senza dimostrazione sono dette assiomi. Sono inoltre introdotti alcuni assiomi non esplicitati negli Elementi e sono definiti in maniera più chiara alcuni enti primitivi. Lo spazio bidimensionale o tridimensionale della geometria euclidea viene generalizzato nel concetto di → spazio euclideo di dimensione finita n, inteso come insieme di n-ple ordinate di numeri (reali o complessi) nel quale è introdotta una distanza euclidea (→ distanza).
Tra gli assiomi della geometria euclidea il quinto postulato è certamente quello di maggiore criticità. Per molti secoli i matematici hanno cercato di dedurlo dai primi quattro postulati, ma tutte le dimostrazioni prodotte erano destinate a fallire perché in maniera più o meno esplicita facevano ricorso a proposizioni logicamente equivalenti a esso. Uno dei tentativi più importanti è dovuto a G. Saccheri che seguì uno schema logico differente. Saccheri partì dalla negazione del quinto postulato, sicuro di giungere a una contraddizione. In tal modo il postulato sarebbe stato dimostrato per assurdo. Saccheri credette di aver trovato la contraddizione e quindi di essere giunto alla dimostrazione del postulato; al contrario, senza esserne consapevole, pose le basi della geometria non euclidea.
La lunga serie di infruttuosi tentativi di dimostrare il postulato delle parallele si è conclusa nei primi anni del xix secolo quando è stato dimostrato che esso risulta indipendente dagli altri postulati. Lo stesso Euclide introduce il postulato delle parallele solo come ventinovesima proposizione del primo libro, dopo aver dimostrato una serie di teoremi indipendenti da esso. L’indimostrabilità del quinto postulato, basata sulla possibilità di produrre, accanto al modello euclideo, modelli coerenti di geometria in cui l’assioma delle parallele non è valido, ha aperto nuove strade alla geometria. Negando il postulato delle parallele si ottiene una → geometria non euclidea, prescindendo da esso si ottiene la → geometria assoluta.