geometria affine

geometria affine

geometria affine settore della geometria che studia uno spazio (costituito da punti, rette, piani ecc.) in relazione alle proprietà che risultano invarianti rispetto alle trasformazioni affini (→ affinità). Tali proprietà invarianti, dette appunto proprietà affini, sono le relazioni di appartenenza, di incidenza, di collinearità e di proporzionalità lungo una data direzione. La geometria affine formalizza la percezione che si ha dell’ombra di un oggetto proiettato da raggi paralleli, quali quelli del Sole. Un’ombra a forma di parallelogramma non permette, per esempio, di stabilire la forma metrica effettiva dell’oggetto che la genera, ma ne cattura le proprietà affini (per esempio consente di cogliere se i contorni sono rettilinei, se i lati opposti sono paralleli, quali sono i punti medi ecc.). Caratteristici problemi della geometria affine sono: determinare se tre punti sono allineati (appartengono cioè alla stessa retta), stabilire se due rette o due piani sono paralleli, individuare la retta parallela a una data e passante per un punto, e così via. Su ogni retta è inoltre definito un ordinamento: si può così stabilire se un punto precede un altro oppure se sta fra due punti A e B. Si definiscono i segmenti e se ne può anche determinare il rapporto, purché essi appartengano alla stessa retta o a rette parallele; di ogni segmento è anche possibile determinare il punto medio; più in generale, un invariante della geometria affine è il → rapporto semplice di tre punti allineati.

In un piano o in uno spazio affine non esiste invece alcun criterio per stabilire se segmenti appartenenti a rette di direzioni diverse hanno uguale o diversa lunghezza: non è definita quindi una distanza omogenea nel piano. Analogamente, non è possibile confrontare angoli (a meno che essi non abbiano i lati paralleli): non è infatti definita l’ampiezza di un angolo. Pertanto, non è definita la relazione di perpendicolarità e un riferimento affine, nel piano o nello spazio tridimensionale, è individuato da due o tre assi incidenti in qualunque modo in un medesimo punto. La geometria affine può essere considerata come un caso particolare della → geometria proiettiva; in essa sono considerati fissi, e all’infinito, punti, rette e piani impropri. Dal punto di vista affine, il confronto delle lunghezze è possibile solo per segmenti aventi la stessa direzione, cioè appartenenti a una stessa retta o a rette parallele. Il suo ambiente, detto spazio affine, risulta pertanto privo di metrica. Dal punto di vista affine, perciò, la circonferenza e l’ellisse costituiscono lo stesso oggetto, così come un quadrato e un parallelogramma qualunque, ed esistono solo tre tipi fondamentali di coniche: ellisse (senza punti impropri), parabola (con due punti impropri coincidenti) e iperbole (con due distinti punti impropri). Una definizione più formale relativa all’oggetto di studio della geometria affine è fornita alla voce → spazio affine.