genere

genere

genere in geometria, numero naturale collegato a determinate proprietà analitiche e topologiche di una curva o di una superficie, invariante per alcune trasformazioni. In particolare, il genere g di una curva algebrica irriducibile di ordine n e dotata di d punti doppi è il numero

Il genere di una conica, per la quale n = 2, d = 0, è uguale a zero; il genere di una curva ellittica, per la quale, essendo essa di terzo grado e non avendo punti singolari, n = 3 e d = 0, è 1. Il genere di una curva algebrica, definita nel piano proiettivo complesso, è invariante per applicazioni birazionali (→ applicazione regolare).

La nozione di genere è estesa, in vari sensi, alle superfici e alle varietà algebriche e topologiche. In topologia, si definisce genere di una superficie, o genere geometrico, il massimo numero di curve chiuse prive di nodi e non intrecciate che si possono tracciare sulla superficie senza che questa venga separata in due parti non connesse. In base a tale definizione, risulta che una sfera ha genere 0, poiché ogni curva chiusa connessa tracciata su di essa la divide in due calotte non connesse; un toro ha genere 1, poiché può essere tagliato lungo una delle due circonferenze generatrici ottenendo una superficie connessa. Un esempio di superficie di genere 2 è costituito dalla bottiglia di → Klein. Il genere g di una superficie, che in linguaggio informale è il numero dei suoi «buchi», è un invariante topologico. Il genere di una superficie è collegato alla caratteristica k di Eulero (→ Eulero, relazione di) dalle seguenti relazioni:

• k = 2 − 2g (per una superficie orientabile)

• k = 2 − g (per una superficie non orientabile)

□ In teoria dei grafi, il genere di un grafo è il numero minimo di «manici» da aggiungere al piano per potervi immergere il grafo senza che gli archi del grafo si sovrappongano. In base a tale definizione un grafo planare ha genere 0. Un grafo con n nodi, completo (tale cioè che ogni suo nodo sia collegato con un arco a ogni altro nodo) ha genere

dove ⌈x⌉ indica la funzione soffitto (→ funzione parte intera).