SIMMETRICHE, FUNZIONI

SIMMETRICHE, FUNZIONI

Si chiamano, in matematica e in specie nell'analisi algebrica, funzioni simmetriche le funzioni, di un qualsivoglia numero di variabili α₁, α₂, ..., α_n, le quali godono della proprietà di non mutare di forma, quando le variabili α₁, α₂, ..., α_n vengano sottoposte a una sostituzione qualsivoglia.

Sono esempî semplici di funzioni simmetriche di due variabili le seguenti:

Se infatti in queste funzioni si cambia α₁ con α₂ e viceversa, eseguendo così quella sostituzione che nel caso di due variabili è l'unica distinta dalla permutazione identica, in cui α₁ ed α₂ vengono mutati in sé stessi, si ha che (qualunque sia il valore numerico di α₁ ed α₂) è:

I seguenti sono invece esempî di funzioni simmetriche di tre variabili:

In generale, date n variabili α₁, α₂, ... α_n, la loro somma, la somma dei loro prodotti a due a due, a tre a tre,... e infine il loro prodotto forniscono altrettanti esempî di funzioni simmetriche, le quali si chiamano le funzioni simmetriche elementari delle α.

La teoria delle funzioni simmetriche ha particolare importanza nell'algebra in virtù del seguente teorema fondamentale: se è data l'equazione algebrica di grado n (a eoefficienti reali o complessi):

e se α₁, α₂ ... α_n sono le sue n radici (reali o complesse, distinte o in parte coincidenti), ogni funzione razionale dei coefficienti p₁, p₂, ..., p_n è una funzione razionale e simmetrica delle radici α₁, α₂, ... α_n; reciprocamente, ogni funzione razionale e simmetrica delle radici α₁, α₂, ... α_n si esprime in funzione razionale dei coefficienti p₁, p₂, ... p_n.

Sono particolarmente importanti alcuni casi di questo teorema, che sono usati, nei trattati di algebra, per la dimostrazione del caso generale del teorema stesso. Scrivendo che i coefficienti dell'equazione (1) sono identici a quelli della medesima equazione scritta sotto la forma:

si ottengono immediatamente le formole del Newton, che esprimono le funzioni simmetriche elementari delle α in funzione razionale dei coefficienti. Indicando con Σα₁, Σα₁α₂, Σα₁α₂α₃ ... Σα₁α₂ ... α_h, ... le somme dei prodotti delle n radici α₁, α₂, ..., α_n ad una ad una, a due a due, a tre a tre, ..., ad h ad h, ... si ha precisamente (F. Viète, 1591; A. Girard, 1629):

Se l'equazione algebrica, anziché sotto la forma (1), è scritta

basta sostituire nelle formule precedenti al posto di p₁, p₂, ..., p_n, i rapporti a₁/a₀, a₂/a₀, ... a_n/a₀ rispettivamente.

Altre importanti funzioni simmetriche delle radici sono le somme di potenze simili di esse. Posto

le somme successive s₀, s₁, s₂, ..., quando l'equazione sia scritta sotto la forma (1), si possono calcolare per mezzo delle formule (I. Newton, 1707):

da cui si ricava per i primi casi:

Per determinare la quantità s_h per h maggiore di n −1, si ha la formula ricorrente (m = o, 1, 2, 3, ...):

Per ulteriori notizie, v. algebra, n. 43.