FUNZIONE

FUNZIONE (XVI, p. 185; App. III, 1, p. 692)

Si ritiene opportuno riprendere la trattazione delle questioni relative alle f. quasi periodiche per ulteriori generalizzazioni e puntualizzazioni secondo le vedute più recenti. È peraltro, a tal fine, indispensabile, a scopo di chiarezza, richiamarsi alle definizioni e a certi risultati già espressi.

Funzioni quasi-periodiche. - La teoria delle f. q. p., dovuta ad H. Bohr, fu da lui esposta in due memorie degli Acta Mathematica (1925 e 1926). Negli anni immediatamente successivi fu oggetto di molti studi, che apportarono notevoli ampliamenti e applicazioni, soprattutto alla teoria delle equazioni differenziali ordinarie: ricordiamo i lavori di H. Weyl, C. De La Vallée Poussin, S. Bochner, V. V. Stepanov, N. Wiener, A. S. Besicovic, J. Favard, J. Delsarte, W. Maak, N. N. Bogoliubov, B. M. Levitan. Questo argomento è stato ampiamente trattato nelle monografie di Bohr, Besicovic, Favard, S. Cinquini, Maak, Levitan, C. Corduneanu (cfr. la bibliografia). Un'importante classe di f. quasi-periodiche era stata studiata all'inizio del secolo, da P. Bohl e da E. Esclangon.

La teoria di Bohr è stata estesa da C. F. Muckenhoupt e da Bochner (1933); è stata poi ulteriormente allargata dallo stesso Bochner e da J. Von Neumann a spazi astratti molto generali. L'estensione agli spazi di Banach, e ancor più a quelli di Hilbert, presenta un interesse del tutto speciale, data la fondamentale importanza di tali spazi in matematica, in fisica-matematica, in fisica teorica. Questa estensione ha, in particolare, un ruolo essenziale nell'analisi dei fenomeni vibratori elastici, poiché il principio di conservazione dell'energia e la quasi-periodicità, in opportuni spazi funzionali, sono strettamente legati: i primi risultati in questo campo, dovuti a Bochner, S. L. Sobolev, O. Ladyženskaja, concernono l'equazione omogenea delle onde.

In epoca recente (dal 1960) la teoria di Bochner ha avuto un ulteriore approfondimento, ad opera principalmente di L. Amerio, B. M. Levitan e Kadets: si sono potuti così ottenere nuovi risultati di quasi-periodicità per l'equazione non omogenea delle onde per l'equazione di Schrödinger, quella di Navier-Stokes, e per altre classiche equazioni e disequazioni funzionali (Amerio, Bochner, S. Zaidman, C. Fojas, G. Prouse, V. Zikov, H. Güntzler, C. Vaghi, M. Biroli). La teoria e le applicazioni delle f. quasi-periodiche negli spazi di Banach sono trattate nella monografia di Amerio e Prouse (cfr. la bibliografia).

1. Richiamandoci alla definizione di Bohr, già esposta in App. III, si precisa che la funzione y = f(t) ivi citata è da ritenersi a valori complessi.

Un altro fatto da puntualizzare è che si può dimostrare che le f. quasi-periodiche si riducono alla chiusura, rispetto alla convergenza uniforme su J, dell'insieme dei polinomi z(t) (teorema di approssimazione); se f (t) è quasi periodica, esiste, in corrispondenza di ogni ε > 0, un polinomio z_ε(t) tale che risulti:

Ulteriori osservazioni si possono fare riferendosi alla definizione già data di f. quasi periodiche a valori in uno spazio B di Banach e di norma y ivi definite, indicando ancora con H la traiettoria in B della f. y = f(t).

Per es., B può essere lo spazio hilbertiano L²(Ω) delle funzioni y = y(x) a quadrato assolutamente integrabile in un insieme Ω di uno spazio euclideo m-dimensionale X_m (x = {x₁, ..., x_m}). In tal caso si assumerà la norma:

Una funzione numerica y(t, x), che appartenga ad L²(Ω), come funzione di x, S-104???t ∈ J, definisce allora una funzione di t a valori in L²(Ω). Indicandola con y(t) (ponendo cioè y(t) = {y(t, x); x ∈ Ω}) la [5] di App. III, 1, p. 693, equivale alla scrittura:

Occorre segnalare una circostanza (del resto tipica in analisi funzionale) che si presenta nella teoria delle f. quasi-periodiche quando si passa dagli spazi euclidei (a un numero finito di dimensioni) agli spazi funzionali (a infinite dimensioni). In questi ultimi gli insiemi relativamente compatti sono insiemi limitati di natura ben peculiare, mentre invece i due tipi di insiemi coincidono negli spazi euclidei.

Si possono perciò ottenere significative differenze negli enunciati.

Per es., la traiettoria H di una f. quasi-periodica y = f (t) è limitata se f (t) è a valori in uno spazio euclideo; risulta relativamente compatta se f (t) è a valori in uno spazio di Banach. Questo significa che, presa comunque, su H, una successione {f(s_n)} di punti, si può estrarre da questa una sottosuccessione {f(s_n′)} convergente.

Come secondo esempio, ricordiamo che se f (t) è quasi-periodica, a valori in Y_n, e se l'integrale

ha la traiettoria limitata, allora F (t) è quasi-periodica (teorema di Bohl-Bohr).

Se B è uno spazio di Banach, qualsiasi, la stessa tesi sussiste ammettendo che F(t) abbia traiettoria relativamente compatta (Bochner).

Qualora peraltro lo spazio B sia hilbertiano, vale inalterato l'enunciato di Bohl-Bohr (Amerio).

Gli spazi per cui si presenta questa circostanza sono stati caratterizzati da Kadets.

Le precedenti considerazioni (soprattutto per quanto riguarda gli spazi di Hilbert) continuano a valere per assai notevoli equazioni funzionali.

2. In relazione alla nozione di f. quasi periodiche e alla quasi periodicità in senso debole (Amerio) è importante ricordare che questa nozione si rivela particolarmente utile nelle applicazioni alle equazioni funzionali.

Un'altra definizione di quasi-periodicità debole, data da Eberlein, ha importanti riferimenti con le teorie ergodiche.

Bibl.: W. Maak, Fastperiodische Funktionen, Berlino 1950; B. M. Levitan, Almost periodic functions, Mosca 1953; A. S. Besicovic, Almost periodic functions, New York 1958; C. Corduneanu, Functii aproape-periodice, Bucarest 1961, Almost periodic functions, New York 1968; L. Amerio e G. Prouse, Almost periodic functions and functional equations, ivi 1971.