funzione periodica
funzione periodica
funzione periodica di periodo T > 0, funzione ƒ(x) tale che ƒ(x + T) = ƒ(x), ∀x ∈ Dom(ƒ). Questo implica che se x ∉ Dom(ƒ ), anche x + T ∉ Dom(ƒ); inoltre T è il più piccolo numero positivo per cui vale ƒ(x + T) = ƒ(x). Una funzione periodica, quindi, assume periodicamente gli stessi valori: se T è un periodo di ƒ, è anche vero che ƒ(x + nT) = ƒ(x), per n ∈ N0. In altri termini, la funzione è tale che il suo valore attuale rimane invariato se si aggiunge alla variabile x un multiplo n qualsiasi di una quantità costante T, detta periodo. È utile osservare che se due funzioni ƒ1 e ƒ2 hanno periodi T1 e T2 commensurabili, una combinazione lineare delle due funzioni e il loro prodotto hanno periodo T = mcm(T1, T2). Per esempio, le funzioni sin(nx) hanno periodo 2π/n e quindi ogni combinazione della forma
ha periodo 2π. Lo stesso vale se N = ∞ e la somma finita diviene una serie infinita, purché la serie sia convergente. Se i periodi sono incommensurabili, si introduce il concetto di funzione quasi-periodica.
La nozione di funzione periodica si estende a funzioni ƒ: C → C. Per esempio: la funzione esponenziale ek ha periodo 2πi; le funzioni ellittiche ammettono due diversi periodi.