Lebesgue, funzione misurabile secondo
Lebesgue, funzione misurabile secondo
Lebesgue, funzione misurabile secondo in analisi, funzione ƒ: E → R, con E ⊆ Rn insieme misurabile secondo Lebesgue, tale che per ogni λ l’insieme {x ∈ E : ƒ(x) > λ} è misurabile. Le funzioni somma, prodotto e quoziente di funzioni misurabili sono misurabili. Se ƒ(x) è misurabile, anche la funzione suo valore assoluto |ƒ(x)| è misurabile. Ogni funzione continua è misurabile, ma lo sono anche tutte quelle che si ottengono come limiti puntuali quasi ovunque (q.o.) di funzioni misurabili, a differenza della misurabilità secondo Peano-Jordan, e in genere di tutte quelle appartenenti alle classi di → Baire. Due risultati significativi per le funzioni misurabili sono i seguenti:
• Una funzione misurabile ƒ potrebbe non essere continua in alcun punto, come per esempio la funzione di → Dirichlet; tuttavia se E ha misura m(E) finita, allora ∀ε > 0 è possibile determinare un insieme compatto K tale che m(EK) < ε e la restrizione di ƒ a K sia continua (proprietà stabilita dal cosiddetto teorema di Luzin, dal nome del matematico russo N. Luzin).
• Se {ƒn(x)} è una successione di funzioni misurabili convergente puntualmente q.o. nell’insieme E avente misura finita a una funzione ƒ(x), allora ∀ε > 0 è possibile determinare un insieme compatto K tale che: m(E/K) < ε, la restrizione di ogni ƒn(x) a E sia continua e la successione {ƒn(x)} converga uniformemente a ƒ(x) in K. Questo risultato è detto teorema di Severini-Egorov, dal nome di due matematici, l’italiano C. Severini e il russo D. Egorov che pubblicarono indipendentemente questo risultato in due rispettivi saggi del 1910 e 1911.
Le funzioni misurabili sono anche approssimabili uniformemente mediante le cosiddette funzioni a livelli, cioè funzioni che assumono solo un numero finito o una infinità numerabile di valori {λn} su insiemi (misurabili) Sn = S(λn).