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funzione esponenziale

Enciclopedia della Matematica (2017)
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funzione esponenziale


funzione esponenziale funzione definita da x ↦ bx per x nel campo reale e per ogni base b > 0, b ≠ 1, spesso indicata con expb(x). Essa risulta strettamente crescente se b > 1, strettamente decrescente se 0 < b < 1. Poiché b = elnb, essendo e il numero di Nepero, è sempre possibile scrivere bx = ex lnb e considerare solo la funzione esponenziale con base e, da cui le altre si ottengono con un cambiamento di scala delle ascisse (ed eventualmente una simmetria rispetto all’asse y, se 0 < b < 1). Vale l’uguaglianza

Enciclopedia della Matematica formula lettf 04020 001.jpg

Le principali proprietà della funzione esponenziale sono:

• la regola degli esponenti ex+y = exey;

• il limite notevole

Enciclopedia della Matematica formula lettf 04020 002.jpg

• il comportamento all’infinito dato dai limiti,

Enciclopedia della Matematica formula lettf 04020 003.jpg

validi per ogni n, per cui l’esponenziale è infinitesimo (per x → ‒∞) o infinito (per x → +∞) di ordine superiore a qualsiasi potenza di x;

• la derivata di ex è ex, e così la sua primitiva è ancora ex + C.

La funzione esponenziale si estende al campo complesso mediante il suo sviluppo di → Maclaurin

Enciclopedia della Matematica formula lettf 04020 004.jpg

Per essa continua a valere la regola degli esponenti e il limite notevole, mentre all’infinito essa ammette una singolarità essenziale. La funzione esponenziale si calcola in C mediante la formula di → Eulero:

Enciclopedia della Matematica formula lettf 04020 005.jpg

Da questa si deduce che:

• il modulo di ez è ex, e quindi ez non si annulla mai, neppure in C;

• l’argomento di ez è y, e quindi ez è periodica di periodo 2πi.

Le funzioni esponenziali a variabile complessa servono a definire le → funzioni iperboliche.

Tag
  • SVILUPPO DI → MACLAURIN
  • SINGOLARITÀ ESSENZIALE
  • FUNZIONI IPERBOLICHE
  • FORMULA DI → EULERO
  • NUMERO DI NEPERO
Vocabolario
esponenziale
esponenziale agg. e s. m. [der. di esponente]. – 1. Relativo all’esponente, come esponente. a. In matematica, funzione e., quella del tipo y = ax, in cui cioè la variabile indipendente x compare come esponente (per a reale e maggiore di...
funzióne
funzione funzióne s. f. [dal lat. functio -onis, der. di fungi «adempiere»]. – 1. Attività svolta abitualmente o temporaneamente in vista di un determinato fine, per lo più considerata nel complesso di un sistema sociale, burocratico, ecc....
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