funzione armonica

funzione armonica

funzione armonica in un aperto Ω ⊆ Rⁿ è una soluzione dell’equazione di → Laplace Δu = 0. Per n = 2, le funzioni armoniche sono legate alle funzioni analitiche, in quanto se ƒ(z) = u(x, y) + iv(x, y) è analitica, le funzioni u e v sono armoniche, cosiddette coniugate. Una funzione armonica in un dominio Ω e continua nel suo complementare Ω̅ è contemporaneamente subarmonica e superarmonica, e quindi assume sia il massimo sia il minimo sulla frontiera ∂Ω (principio del massimo). Ne consegue l’unicità e la dipendenza continua dai dati (nella norma del massimo) per il problema di → Dirichlet. Vale inoltre il teorema della media: detta S una sfera con centro in un punto P e raggio r tale che S ⊂ Ω, si ha

dove m(S) è la misura di S. Per esempio, in dimensione n = 2, S è una circonferenza, e m(S) = 2πr. Il teorema vale anche integrando sulla → palla B (n = 2, cerchio, m(B) = πr ²).