funtore
funtore
funtore trasformazione tra due categorie che ne conserva le strutture. Più precisamente, assegnare un funtore F da una categoria C a una categoria D significa dare:
• una legge: Ob(C) → Ob(D), che associa a ogni oggetto X di C uno e un solo oggetto F(X) di D;
• per ogni coppia di oggetti A e B appartenenti a C, una legge che associa a ogni morfismo ƒ*: A → B un morfismo F(ƒ*): F(A) → F(B) (nel qual caso il funtore viene detto covariante) oppure un morfismo F(ƒ*): F(B) → F(A) (nel qual caso il funtore viene detto controvariante).
Si richiede inoltre che siano soddisfatte le seguenti proprietà funtoriali:
a) per ogni oggetto A appartenente alla categoria C, vale F(idA) = idF(A);
b) per ogni morfismo ƒ*: A → B e per ogni morfismo g: B → C, vale F(g ∘ ƒ*) = F(g) ∘ F(ƒ*) (se il funtore è covariante) oppure F(g ∘ ƒ*) = F(ƒ*) ∘ F(g) (se il funtore è controvariante), dove A, B e C sono arbitrari oggetti della categoria C.
Un esempio di funtore covariante è il funtore HomK(V*, .), dove V* è un fissato spazio vettoriale definito su un campo K dalla categoria VetK degli spazi vettoriali definiti su K in sé stessa, che associa a uno spazio vettoriale W* lo spazio HomK(V*, W*) delle applicazioni lineari da V* in W* (dotato in modo naturale della struttura di spazio vettoriale), e che associa a un’applicazione lineare ƒ*: W* → U l’applicazione H(ƒ*): HomK(V*, W*) → HomK(V*, U) definita da H(ƒ*)(φ) = ƒ φ.
Sono invece esempi di funtori controvarianti:
• il funtore, dalla categoria Top degli spazi topologici alla categoria AlgC delle algebre definite su C, che associa a uno spazio topologico X l’algebra C(X) delle funzioni continue su X a valori in C e a un’applicazione continua ƒ*: X → Y l’applicazione c(ƒ*): C(Y) → C(X) definita da c(ƒ*)(φ) = φ ƒ*;
• il funtore, dalla categoria VetK degli spazi vettoriali definiti su K in sé stessa, che associa a uno spazio vettoriale V iI suo spazio duale V* e a un’applicazione lineare ƒ*: V* → W* l’applicazione trasposta ƒ*: W* → V* definita da ƒ* (φ)(v) = φ(ƒ*(ν)).