Frege

Frege

Frege Friedrich Ludwig Gottlob (Wismar, Meclemburgo-Pomerania Occidentale, 1848 - Bad Kleinen, Meclemburgo-Pomerania Occidentale, 1925) logico e matematico tedesco. Il disegno complessivo di tutta la sua opera di fine e originale logico si può riassumere in quello che oggi viene detto programma logicista di fondazione della matematica (il termine → logicismo fu però coniato successivamente da B. Russell), teso a dimostrare che le verità matematiche sono in massimo grado oggettive in quanto puramente logiche, prescindenti cioè da ogni specifica intuizione. Dopo aver compiuto i primi studi nel ginnasio della città natale, Frege s’iscrisse, nel 1869, all’università di Jena e successivamente, dal 1871, frequentò l’università di Göttingen, dove si laureò nel 1873, conseguendo l’anno successivo la libera docenza. In un periodo in cui, anche per la nascita della teoria degli insiemi, era sentita l’esigenza di dare una fondazione rigorosa dell’aritmetica dei numeri naturali, Frege, già a Göttingen, iniziò a elaborare un proprio programma di ricerca sui fondamenti della matematica: tale programma, secondo Frege, poteva essere compiuto soltanto grazie a una collaborazione tra i metodi della matematica e quelli della filosofia. Nel 1879 fu nominato professore straordinario all’università di Jena, presso la quale compì tutta la sua carriera accademica, che si concluse nel 1895 con la nomina a professore ordinario onorario.

Frege intendeva basarsi soltanto su verità logiche non viziate da intuizioni, che si sarebbero potute rivelare fallaci, e si convinse perciò che l’uso di un linguaggio vicino a quello naturale potesse inconsapevolmente portare a errori derivanti dalla consuetudine; da ciò, seguendo un programma di tipo leibniziano, scaturì l’idea di costruire una lingua «logica», che evitasse ogni prolissità ed equivocità di significati e nella quale ogni ragionamento si tramutasse in calcolo. Pubblicò così, nel 1879, Begriffsschrift, Eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denken (Ideografia, un linguaggio formalizzato del pensiero puro, a imitazione di quello aritmetico), in cui presenta una «scrittura per concetti», simbolica. Vi è qui la prima sistemazione assiomatica del calcolo dei predicati: si riprende la nozione aristotelica di proposizione (entità linguistica «che può essere affermata o negata») e il contenuto di una proposizione è reso in modo analogo a quello di funzione, distinguendo tra la funzione (il predicato) e il suo argomento. Una tale funzione proposizionale C(x) applicata a un oggetto a può dare come valori o il vero o il falso: per esempio, se C rappresenta «essere un poligono», a rappresenta l’oggetto «un satellite» e b rappresenta l’oggetto «il triangolo ABC» si ha C(a) = falso mentre C(b) = vero. In questo quadro, Frege introduce il quantificatore universale e, attraverso la sua negazione, il quantificatore esistenziale. Frege introduce poi due nuove categorie di oggetti: i valori di verità e i decorsi dei valori delle funzioni proposizionali. I primi costituiscono il correlato oggettivo delle proposizioni e sono esattamente due: il vero e il falso, non meglio identificati. Per una funzione proposizionale C(x), se applicata a un oggetto a, vale sempre, in maniera esclusiva, o che C(a) = il vero o che C(a) = il falso. Il decorso dei valori di una funzione proposizionale C(x) è l’oggetto costituito dall’estensione del concetto C, cioè la classe degli a per cui vale C(a) = il vero. Su questa sola base Frege ricostruisce l’aritmetica. Nella Ideografia è già chiara la distinzione tra sintassi e semantica, che si collocano su due piani separati; ma la sintesi operata da Frege tra aspetti matematici e aspetti filosofici fece sì che la sua opera rimanesse piuttosto oscura sia agli studiosi di matematica sia a quelli di filosofia. Colpito dalla fredda accoglienza riservata alla sua opera, Frege espose l’essenza del suo programma – ma senza utilizzare il linguaggio simbolico da lui creato – nel saggio Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logischmatematische Untersuchung über den Begriff der Zahl (I fondamenti dell’aritmetica. Una ricerca logico-matematica sul concetto di numero, 1884): qui il numero è definito come estensione di un concetto, il quale – in termini intuitivi – fa riferimento a ciò che hanno in comune due concetti con la stessa quantità di elementi. Nel 1892 pubblicò Über Sinn und Bedeutung (Senso e significato) in cui si distingue chiaramente tra ciò che un’espressione linguistica designa (la denotazione), il modo in cui la denotazione è data dall’espressione (il senso) e la rappresentazione associata all’espressione. Mentre la rappresentazione è un’entità soggettiva, mentale e privata, il senso può essere possesso comune di più persone ed è perciò oggettivo quanto la denotazione, anche se «non abita» il mondo fisico, ma – dirà Frege successivamente – un platonico «terzo regno» accanto a quelli del fisico e del mentale. Nel 1893 pubblicò il primo volume dei Grundgesetze der Arithmetikbegriffsschriftlich abgeleitet (I principi dell’aritmetica derivati secondo l’ideografia), in cui si proponeva di portare a compimento l’opera di riduzione dell’aritmetica alla logica per mezzo della lingua ideografica. Esso, tuttavia, ebbe altrettanta fredda accoglienza delle precedenti opere. Il secondo volume venne alla luce soltanto nel 1902, ma nel frattempo, e poco prima che esso fosse dato alle stampe, il giovane logico B. Russell scrisse a Frege una lettera in cui comunicava di aver trovato una contraddizione nel sistema logico dei Principi esposto nel primo volume (la cosiddetta antinomia di Russell). Frege pubblicò tale lettera in appendice al secondo volume, dichiarandosene sconfortato, e ciò dette un colpo mortale al suo programma. D’altra parte, proprio l’antinomia di Russell portò a un intenso periodo di ricerche fondazionali, successivamente chiamato crisi dei fondamenti, che per diversi aspetti prese le mosse da molti concetti innovativi di Frege stesso. Il fallimento del suo programma di riduzione dell’aritmetica alla logica, che Frege stesso riconobbe, contribuì, probabilmente insieme alla morte della moglie avvenuta nel 1904, a far cadere Frege in un profondo stato di depressione, sì che successivamente non pubblicò quasi più nulla. L’esigenza di rigore e la strumentazione logica da lui introdotti restarono tuttavia alla base dei successivi sviluppi della logica.