Taylor, formula di

Taylor, formula di

Taylor, formula di (di grado n) formula che permette di sviluppare una funzione ƒ(x) rispetto alle potenze dell’incremento della variabile. Per una funzione ƒ(x) dotata delle derivate fino all’ordine n-esimo in un punto x₀, è la riscrittura della funzione come ƒ(x) = T_n(x) + R_n(x), in cui T_n è il polinomio di Taylor della funzione e R_n è il resto della formula espresso secondo uno dei modi possibili (→ Taylor, polinomio di).

La formula di Taylor mostra che, a meno del resto, ƒ(x) si può sostituire con il suo polinomio di Taylor, che, fra tutti i polinomi di grado non maggiore di n, è quello che meglio l’approssima asintoticamente, nel senso che è l’unico il cui errore è o((x − x₀)ⁿ) per x → x₀ (si veda → o piccolo).

Una scrittura tradizionale della formula di Taylor di grado n per la funzione ƒ(x) è:

che sinteticamente, utilizzando i differenziali successivi, si può scrivere come

Quest’ultima forma ha il vantaggio di poter essere generalizzata a funzioni in più variabili utilizzando l’espressione dei differenziali per tali funzioni (→ Taylor, polinomio di). La formula di Taylor ha rappresentato la base delle ricerche sulle serie di potenze e della teoria delle funzioni analitiche.