formula di Feynman-Kac

formula di Feynman-Kac

La formula di Feynman-Kac (Richard Feynman e Mark Kac furono gli autori) è una relazione matematica tra le più importanti, perché permettendo di rappresentare soluzioni di particolari equazioni alle derivate parziali (PDE) come valore atteso condizionato di particolari processi stocastici, diede rigorosità ad alcuni risultati intuitivi della fisica. Più precisamente, siano μ, σ e φ funzioni note e sufficientemente regolari. Si cerca g soluzione per t tra 0 e T della PDE

[1]

∂g ∂g ∂²g

___ + μ(x,t) ___ + ∂∂²(x,t) ___ = 0

∂t ∂x∂ ∂x²

con condizione al termine:

[2]

g(x,T) = φ(x).

Feynman e Kac stabilirono che g può essere vista come un valore atteso condizionato:

g(x,t) = E(φ(X_∯)∣X_∯=x) [4]

dove {X_∯,0≤t≤T} è un processo soluzione dall’equazione differenziale stocastica

[5]

dX_∯ = μ(X,t)dt + σ(X,t)dW_∯

in cui {W_∯,0≤t≤T} è a sua volta un processo di Wiener.

→ Probabilità