forma algebrica

forma algebrica

forma algebrica polinomio omogeneo nelle indeterminate, ossia polinomio in cui tutti i monomi hanno lo stesso grado. Il grado della forma è il grado stesso del polinomio; pertanto si dice lineare una forma di primo grado, quadratica una forma di secondo grado, cubica una forma di terzo grado. Una forma lineare nelle indeterminate x₁, ..., x_n è un polinomio del tipo a₁x₁ + ... + a_nx_n. Una forma quadratica nelle indeterminate x₁, ..., x_n è un polinomio del tipo

Una forma algebrica è detta binaria, ternaria, quaternaria e così via a seconda del numero delle variabili che in essa compaiono. È poi detta canonica o regolare o normale se la particolare disposizione dei coefficienti e delle variabili che compaiono in essa è atta a metterne in evidenza le proprietà con la maggiore chiarezza (→ forma canonica).

Nel campo reale, una forma quadratica è detta definita positiva (oppure definita negativa) se assume valori positivi (o negativi) per qualunque scelta dei valori di x₁, ..., x_n (non tutti nulli); è detta semidefinita positiva (rispettivamente semidefinita negativa) se assume valori non negativi (rispettivamente non positivi) per qualunque scelta dei valori di x₁, ..., x_n; è detta indefinita se assume sia valori positivi sia valori negativi. Per esempio: x₁² + x₂² è definita positiva; −x₁²− x₂² è definita negativa; x₁² + 2x₁x₂ + x₂² è semidefinita positiva; −x₁² − 2x₁x₂ − x₂² è semidefinita negativa e, infine, x₁² − x₂² è indefinita. Tali proprietà sono legate agli autovalori della matrice [A_ij] dei coefficienti: se essi sono tutti positivi (non negativi) la forma è definita (semidefinita) positiva; se sono tutti negativi (non positivi) la forma è definita (semidefinita) negativa; se vi sono autovalori sia positivi sia negativi, la forma è indefinita.

Lo studio della forma si può eseguire più semplicemente considerando i suoi minori di nord-ovest (detti anche principali di guida), essendo un minore principale di nord-ovest di ordine k il minore formato dalle prime k righe e dalle prime k colonne della matrice [A_ij] (→ matrice, minore di una). Se essi sono tutti positivi (non negativi), la forma è definita (semidefinita) positiva; se sono di segni alternati, con quelli di ordine dispari negativi (non positivi) e quelli di ordine pari positivi (non negativi), la forma è definita (semidefinita) negativa; altrimenti la forma è indefinita.