filtrazione
filtrazione
Concetto chiave della logica degli eventi di rilevante importanza nella teoria della probabilità e nelle sue applicazioni alla finanza. In estrema sintesi, la f. collega l’arrivo di una sequenza di informazioni all’evoluzione progressiva dell’incertezza.
Un esempio di filtrazione
Per intendere la questione, si parta da un esempio semplicissimo, in cui si sia interessati all’esito di una sequenza di 5 estrazioni casuali senza reimbussolamento da un’urna contenente 5 palline di cui 3 bianche e 2 nere, distinguibili solamente per il diverso colore. Vi sono 10 possibili sequenze diverse di estrazioni che vengono ordinate dalla a alla l in corrispondenza al posto occupato dalle palline nere. Precisamente: a, prima e seconda; b, prima e terza; c, prima e quarta; d, prima e quinta; e, seconda e terza; f, seconda e quarta; g, seconda e quinta; h, terza e quarta; i, terza e quinta; l, quarta e quinta. Si indichino con t= 0, 1,…, 5 gli istanti di tempo in cui un soggetto ottiene l’informazione sull’esito delle prime t estrazioni (al tempo 0 nessuna informazione, al tempo 1 informazione sull’esito della prima estrazione, al tempo 2 sull’esito delle prime due,…, al tempo 5 sull’esito dell’intera sequenza). Al tempo 1 giunge l’informazione B o N sull’esito della prima estrazione. Vi sono banalmente due possibili informazioni diverse, ma la teoria preferisce considerare la suddivisione dell’insieme delle 10 sequenze possibili all’inizio nei due sottinsiemi aventi N o, rispettivamente, B al primo posto. Al primo sottinsieme appartengono le sequenze dalla a alla d, al secondo tutte le altre. Le sequenze del primo sottinsieme sono tutte e solo quelle compatibili con l’informazione N, quelle del secondo sottinsieme tutte e solo quelle compatibili con l’informazione B. Si supponga che sia pervenuta l’informazione N e ci si chieda cosa accadrà quando perverrà l’informazione sull’esito della seconda estrazione. Essa può essere ancora o una N o una B, che, aggiungendosi alla prima informazione, genera o una NN o una NB come informazione globale al tempo 2 subordinatamente all’informazione N al tempo 1. Anche qui, peraltro, interessa porre l’accento sulla suddivisione del sottinsieme delle 4 sequenze dalla a alla d in due sottinsiemi: quello contenente la sequenza a e quello contenente le 3 sequenze b, c, d. Il primo sottinsieme contiene l’unica sequenza compatibile con l’informazione NN, il secondo tutte e solo quelle compatibili con l’informazione NB. Si può ora intendere come lo schema si generalizzi: a ogni tempo t l’arrivo di una nuova informazione provoca, se ciò è possibile, una suddivisione in due sottinsiemi del sottinsieme delle sequenze possibili sulla base dell’informazione disponibile al tempo t−1. Risulta chiaro che, se al tempo t−1 tale sottinsieme era composto da una sola sequenza (da un unico elemento), non vi è nulla da suddividere e l’informazione che si ottiene è ovvia: dopo una coppia NN non può che pervenire l’informazione B sull’esito della terza estrazione. Invece, dopo una coppia NB può pervenire sia l’informazione N compatibile con la sola sequenza b, sia l’informazione B, compatibile con le sequenze c, d. È il caso di sottolineare che nell’esempio presentato l’informazione è al massimo di tipo binario: da qui la suddivisione del sottinsieme trovato in t−1 in due sottinsiemi al più; in un caso più generale, la presenza di palline di 3 diversi colori (o in generale di h differenti colori) comporterebbe la possibilità di una tripartizione (o di una suddivisione in h sottinsiemi al più) del sottinsieme delle sequenze compatibili con l’informazione disponibile al tempo t−1. Volendo dare una definizione generale, la f. al tempo t è costituita dall’insieme di tutti i possibili sottinsiemi di sequenze che, in un qualunque tempo fra 0 e t, appartengono allo stesso insieme informativo (raggruppano tutte e solo le sequenze compatibili con l’informazione disponibile in un qualsiasi momento fra 0 e t). Tornando all’esempio, la f. all’epoca t=2 è composta dagli insiemi: (a, b, c, d, e, f, g, h, i, l) tempo 0, informazione vuoto; (a, b, c, d) tempo 1, informazione N; (e, f, g, h, i, l) 1B; (a) 2NN; (b, c, d) 2NB; (e, f, g) 2BN; (h , i, l) 2BB. Non è il caso di soffermarsi sulle complicazioni tecniche connesse al passaggio dall’ambiente discreto all’ambiente continuo sia nel tempo sia nell’informazione. Esse richiedono, per consentire la probabilizzazione (definita misurabilità) di tutti gli eventi rilevanti, l’introduzione di sigma algebre.
Applicazioni della filtrazione all’evoluzione dei prezzi
Lo schema descritto è la naturale cornice nella quale ambientare lo studio dell’evoluzione dei prezzi di attività finanziarie. I prezzi sono considerati come processi aleatori adattati all’informazione descritta da una f., nel senso che il prezzo all’epoca t (variabile aleatoria del processo) è vincolato ad assumere il medesimo valore su tutti gli elementi di uno stesso sottinsieme informativo a quell’epoca. Della massima importanza è anche la considerazione di prezzi all’epoca futura T condizionati all’informazione a un’epoca t<T. E l’informazione è appunto descritta dalla f. Ft