EVOLUTA

EVOLUTA

. Data una curva piana C, ad ogni suo punto P si associ il centro M di curvatura o centro del cerchio osculatore in P (v. curvatura; curve). Al variare di P su C il punto M descrive una curva Γ che si dice la evoluta o la sviluppata di C, mentre la C si dice la evolvente o la sviluppante di Γ (cfr. l'unita figura).

La Γ può altresì essere riguardata come l'inviluppo delle normali alla C, ciò che, in linguaggio infinitesimale, si esprime dicendo che la normale in P a C interseca la normale infinitamente vicina nel punto M. Riesce così evidente che la normale in P a C è la tangente in M a Γ.

Se y = f (x) è l'equazione cartesiana della C, risolta rispetto all'ordinata y del generico punto P, le formule che dànno le coordinate ξ, η del centro M di curvatura costituiscono le equazioni parametriche della evoluta. Esse sono

nelle quali x, y designano le coordinate di P, y′ e y″ rispettivamente i valori locali delle derivate prima e seconda della funzione f (x). Se si riesce ad eliminare la x dalle (1), si ottiene l'equazione dell'evoluta nella forma implicita ϕ (ξ, η) = 0.

Una notevole proprietà dell'evoluta è la seguente. L'arco di evoluta interposto tra due suoi punti M₀ e M (fra i quali il raggio di curvatura sia sempre crescente o decrescente) è eguale alla differenza, in valore assoluto, delle lunghezze dei segmenti P₀M₀, PM (raggi di curvatura della C in P₀ e P).

Questa proprietà suggerisce la seguente costruzione della evolvente C quando sia data la evoluta Γ. Supponiamo che lungo l'arco P₀P di C il raggio di curvatura vada crescendo quando lo si percorre nel senso da P₀ a P; e immaginiamo un filo flessibile e inestendibile che, fissato ad un capo in M, avvolga perfettamente l'arco MM₀ di Γ e, a partire da M₀, se ne stacchi in guisa da risultare, nel rimanente tratto, rettilineo e da avere il capo libero in P₀. Se allora si svolge il filo dalla evoluta, tenendolo sempre teso e in modo che la parte rettilinea si mantenga sempre tangente alla evoluta stessa, il capo libero P₀ descrive l'arco P₀P della C (evolvente di Γ). Ciò è dovuto al fatto che, in virtù della proprietà sopra enunciata, nel passaggio del capo libero del filo dalla posizione P₀ ad un'altra P′ lungo la evolvente, la variazione che subisce il segmento P₀M₀ (raggio di curvatura) non è che l'archetto di evoluta M₀M′.

La stessa costruzione si può eseguire prendendo come capo libero del filo, in luogo del punto P₀ di C, un qualsiasi altro punto del tratto rettilineo M₀P₀ o del suo prolungamento; onde si riconosce che sono infinite le evolventi d'una curva assegnata Γ (traiettorie ortogonali delle tangenti alla Γ).

L'evoluta di un'ellisse

è la curva

del tipo asteroide; se l'ellisse si riduce a una circonferenza, l'evoluta degenera nel punto ξ = η = 0, centro della circonferenza.

Data una circonferenza di raggio r, una delle sue evolventi ammette le equazioni parametriche x = r (cos t + t sen t), y = r (sen t − t cos t), essendo t un parametro suscettibile di tutti i valori reali.

L'evoluta d'una parabola conica è una parabola semicubica; quella d'una spirale logaritmica ρ = ae^kϑ è una spirale eguale alla data ρ = ae ^{log k+k (ϑ−π/2)}, ma diversamente situata. L'evoluta va a coincidere con l'evolvente facendola rotare attorno al polo d'un angolo eguale a (log k)/k − π/2. Se k soddisfa all'equazione (trascendente)

essendo n un numero intero qualsiasi, la spirale evoluta coincide proprio con la spirale evolvente. Dallo studio dell'equazione in discorso risulta che essa ammette una radice per ogni valore di n. Dunque esistono infinite spirali logaritmiche che sono le evolute di sé stesse.

L'evoluta della cicloide x = a (t − sen t), y = a (1 − cos t) è la cicloide stessa, spostata di πa nel senso delle x positive e di 2a nel senso delle y negative.

La catenaria è l'evoluta d'una trattrice.