Galois, Evariste

Galois, Evariste

Un matematico incompreso

Nella breve vita di Évariste Galois, morto in duello a soli vent'anni, si intrecciano due passioni: la matematica e la politica. Osteggiato dal mondo accademico ottocentesco, che non comprese la portata delle sue ricerche, Galois diede invece contributi importantissimi alla teoria dei gruppi e ha studiato come si possono risolvere le equazioni algebriche per mezzo del gruppo di sostituzioni

Una vita appassionata

Il matematico francese Évariste Galois viene descritto dai contemporanei come un personaggio schivo e piuttosto singolare. Nato nel 1811 a Bourg-la-Reine, nei pressi di Parigi, Galois ha avuto una vita breve, poco più di vent'anni, divorata dalle passioni per la matematica e la politica. Il suo rapporto con il mondo accademico dell'epoca è stato difficile. Per due volte è stato respinto agli esami di ammissione dell'École Polytechnique, la più prestigiosa istituzione francese, e i suoi lavori di matematica sugli insiemi numerici e la risoluzione delle equazioni algebriche sono stati rifiutati o non compresi dall'Accademia delle scienze di Parigi. Ammesso a frequentare i corsi di matematica alla Scuola Normale nel 1830, fu espulso dopo pochi mesi per aver preso parte alle proteste di piazza. Il suo attivismo politico gli costò negli anni successivi anche l'arresto e la condanna al carcere. Rilasciato nel 1832, morì in quello stesso anno a causa delle ferite riportate durante un duello. I lavori di Galois rimasero pressoché sconosciuti fino al 1846, quando il matematico francese Joseph Liouville li pubblicò sul suo Journal de mathématiques pures et appliqueés.

La teoria di Galois

Facciamo un esempio. Considerate una gara di ciclismo a cui partecipano solo tre corridori. Quanti sono i possibili esiti della gara se i partecipanti non possono tagliare il traguardo contemporaneamente? Se indichiamo i ciclisti con i simboli A, B, C, il problema dei possibili esiti della gara sta allora nel capire in quanti e quali modi si possono mettere in ordine gli oggetti A, B, C.

Un modo efficace di procedere è di mettere in prima posizione, a turno, uno degli elementi e vedere cosa succede dopo, nelle altre posizioni. Per esempio, se il ciclista A finisce primo, negli altri due posti, cioè in seconda e in terza posizione, possono andare solo gli altri due elementi, e in due soli modi possibili; cioè, B,C e C,B. Dunque, se A vince gli esiti finali sono solo due: ABC e ACB.

Se si applica lo stesso ragionamento quando è B che finisce in prima posizione, si ottengono i risultati BAC e BCA. Allo stesso modo quando C arriva per primo al traguardo le possibili situazioni finali sono CAB e CBA.

Quelle elencate sono le uniche sei sostituzioni o permutazioni dell'insieme composto dai tre elementi A, B, C.

Una sostituzione equivale a operare in un certo modo sugli elementi A, B, C, rispetto a una sostituzione di base (per esempio ABC) presa come riferimento. Allora, la sostituzione CBA corrisponde al fatto che A→C, B→B, C→A; cioè, in sostanza, al fatto che A e C si sono scambiati di posto.

Inoltre, le sostituzioni possono essere anche moltiplicate tra loro, un po' come si fa con i numeri. Se avete la sostituzione CBA (A→C, B→B, C→A) e la sostituzione ACB (A→A, B→C, C→B), fare il prodotto tra le due sostituzioni vuole dire applicarle successivamente: si ottiene così (A→C→B, B→B→C, C→A→A), cioè BCA.

Esistono sempre la sostituzione che lascia inalterato il risultato finale del prodotto (è la sostituzione identica ABC, A→A, B→B, C→C) e la sostituzione che moltiplicata per un'altra dà come risultato la sostituzione identica ABC.

Il gruppo. Queste sono alcune delle principali proprietà di ciò che nella matematica moderna va sotto il nome di gruppo (algebra). Ossia, l'insieme delle sostituzioni su tre elementi possiede una struttura di gruppo; e il discorso è valido indipendentemente dal numero n di oggetti considerati.

L'idea di gruppo di sostituzioni è emersa soprattutto in relazione allo studio delle equazioni algebriche, come per esempio l'equazione: x−2=0. In questo caso, si tratta di un'equazione molto semplice da risolvere, ma quando l'equazione è più complessa, in particolare quando è più alto il suo grado, allora il gruppo di sostituzioni permette di risolvere il problema in quella che è ora nota come teoria di Galois, una delle teorie centrali del moderno pensiero matematico.