Eulero

Eulero

Un matematico 'poliedrico'

Il matematico svizzero Eulero, vissuto nel Settecento, ha lasciato una voluminosa raccolta di opere dedicate a quasi tutti gli ambiti della matematica. Uno dei suoi risultati più famosi è il teorema che stabilisce una semplice proprietà dei poliedri e riguarda il numero di spigoli, facce e vertici che li formano

Una mente versatile e prolifica

Eulero è la forma italianizzata di Leonhard Euler, matematico svizzero nato a Basilea nel 1707, ma vissuto prevalentemente in Russia, a San Pietroburgo, e in Prussia, a Berlino, dove lavorò presso le rispettive Accademie delle scienze.

Eulero fu uno dei matematici più creativi e produttivi nella storia del pensiero scientifico. Basti pensare che le sue opere complete comprendono 887 lavori e furono raccolte in ben 74 volumi (una vera enormità in campo matematico).

Eulero contribuì praticamente a tutti i rami della matematica e della fisica teorica del Settecento e si interessò soprattutto allo sviluppo dell'analisi infinitesimale, la teoria nata alla fine del Seicento con le opere del matematico e filosofo Gottfried Leibniz e con quelle di Newton. L'analisi, adoperata poi per studiare il moto dei corpi, divenne uno strumento prezioso per esprimere le leggi fisiche nella scienza moderna.

Non sorprende quindi che una delle opere più celebri di Eulero sia la Introductio in analysin infinitorum del 1748; anche per i simboli usati, essa è stata per molto tempo uno dei testi di riferimento classici dell'analisi infinitesimale.

Il teorema di Eulero

Dadi, mattoni, piramidi sono tutti esempi concreti di poliedri, cioè di solidi racchiusi da superfici formate da poligoni. I poliedri possono essere (o meno) regolari, e ciò dipende, prima di tutto, dal fatto che abbiano o meno facce uguali tra loro.

Per i poliedri vale una proprietà piuttosto sorprendente. Prendiamo un cubo e contiamo le sue facce, i suoi vertici e i suoi spigoli. Ci sono 6 facce, 8 vertici e 12 spigoli. Se sommiamo il numero delle facce a quello dei vertici e sottraiamo gli spigoli (6+8−12), il risultato è 2. Proviamo a fare la stessa cosa con una piramide, per esempio a base triangolare. In questo caso le facce sono 4, i vertici ancora 4 e gli spigoli 6. Di nuovo, sommando il numero di facce e vertici e togliendo quello degli spigoli si ottiene ancora 2. Per essere ancora più sicuri, riproviamo un'altra volta, con una piramide a base quadrata. Ora ci sono 5 facce, 5 vertici e 8 spigoli e ancora una volta si ha 5+5−8=2.

Esiste così una relazione, nota come teorema di Eulero, tra il numero delle facce (F), dei vertici (V) e degli spigoli (S) di un poliedro, che si può esprimere come F+V−S=2.

Il teorema di cui abbiamo visto alcuni esempi riguarda poliedri regolari e non solo, come mostra l'ultimo caso della piramide la cui base quadrata è sicuramente diversa dalle altre sue facce.

Una nuova branca della geometria

Nel tempo ci si è chiesti se il teorema di Eulero continuasse a valere anche in casi più complessi. Prendiamo, per esempio, due piramidi a base triangolare e uniamole per il vertice. Vale ancora la relazione stabilita prima? Sicuramente no, perché tutte le grandezze sono ora raddoppiate in numero, con l'eccezione del vertice in comune. Casi simili ‒ o altri analoghi, come quando da un cubo si isola la parte centrale a forma di parallelepipedo ‒ sono stati spesso considerati, per la loro apparente stranezza, come 'mostruosi'. Col tempo si riconobbe che anche questi solidi si potevano considerare a tutti gli effetti poliedri, perché le loro facce erano comunque poligoni. I poliedri che abitualmente consideriamo (parallelepipedi, piramidi, e così via) sono solo casi particolari molto semplici, che non esauriscono tutte le possibili varianti dei poliedri perché in alcuni casi questi solidi hanno 'rientranze' e 'buchi'. Questo fatto ha portato a perfezionamenti del teorema di Eulero, come la cosiddetta formula di Lhuilier (Simon Lhuilier fu un altro matematico svizzero vissuto fra Settecento e Ottocento), in cui si tiene conto del numero di eventuali buchi presenti nel poliedro.

Il teorema di Eulero sui poliedri, insieme a tanti altri risultati, ha dato avvio alla topologia, un ramo particolarmente affascinante della matematica e specialmente della geometria del 20° secolo.