estremo

estremo

estremo termine che indica, in generale, un valore che fa da confine per un insieme ordinato. Tale valore può appartenere o no all’insieme stesso. Per esempio, un intervallo chiuso [a, b] o aperto (a, b) ammettono comunque i valori a e b come estremi, rispettivamente inferiore e superiore se a < b, ma nel primo caso tali valori appartengono all’intervallo e nel secondo no. Gli stessi termini si applicano ai segmenti geometrici di cui gli intervalli indicati sono rappresentazioni; nel caso della geometria il segmento può essere considerato ordinato o no, ma anche in analisi è possibile considerare un intervallo [a, b] senza presupporre che risulti a < b: per esempio, nella definizione di integrale definito, è utile considerare lecito il caso in cui il primo estremo a sia maggiore del secondo estremo b; ciò permette di mantenere validità alle formule senza limitazioni.

☐ Per una funzione o un funzionale reale il termine estremo indica il massimo o minimo valore da essi assunto: esso è in tal caso l’estremo dell’insieme immagine della funzione o del funzionale. Un punto in cui viene raggiunto l’estremo (→ massimo, → minimo) è detto punto di estremo (massimo, minimo). Punto di massimo relativo per una funzione ƒ è un punto P tale che la restrizione di ƒ a un opportuno intorno di P assuma il massimo in P. Il valore di ƒ in P è detto massimo relativo; il massimo della funzione nel suo dominio viene invece detto massimo assoluto. Un punto di massimo relativo vincolato (o condizionato) per una funzione ƒ(x, y) col vincolo Γ di equazione g(x, y) = 0 è un punto P0(x0, y0) ∈ Γ (cioè soddisfacente la condizione g(x0, y0) = 0) tale che ƒ(x, y) ≤ ƒ(x0, y0) per ogni punto P(x, y) ∈ Γ ∩ U, essendo U un opportuno intorno di P0. Se è possibile esprimere il vincolo Γ nella forma esplicita y = φ(x), il problema si riduce a quello della determinazione del massimo per la funzione composta ƒ(x, φ(x)), e analogamente se il vincolo si esprime nella forma parametrica x = x(t), y = y(t), mentre nel caso generale si può ricorrere al metodo dei moltiplicatori di → Lagrange. La nozione si estende a un numero qualsiasi n + m di variabili con m vincoli (→ massimo vincolato; → minimo vincolato).

☐ Di un insieme totalmente ordinato e inferiormente limitato E, si definisce estremo inferiore il massimo dei suoi minoranti, cioè il massimo tra gli elementi x tali che x ≤ y per ogni y ∈ E; se tale elemento appartiene a E esso è il minimo dell’insieme E. Di un insieme totalmente ordinato e superiormente limitato E, si definisce estremo superiore il minimo dei suoi maggioranti, cioè il minimo tra gli elementi x tali che x ≥ y per ogni y ∈ E. Se tale elemento appartiene a E esso è il massimo dell’insieme E.

☐ In una proporzione a : b = c : d sono altresì chiamati estremi i termini a e d e, per converso, sono chiamati medi i termini b e c. Il prodotto dei medi è uguale a quello degli estremi.