esponenziale

esponenziale

esponenziale [agg. e s.m. Der. di esponente] [ANM] E. complesso: la funzione e. con argomento complesso, definibile a partire dalla serie e. (v. oltre); è legato alle funzioni seno e coseno nel campo reale dalla relazione di Eulero, che per una variabile reale x si scrive: exp(ix)=cosx+i sinx, con i unità immaginaria; da questa relazione discende che exp(ix)=exp(ix+2ši), cioè che l'e. complesso è una funzione periodica, con periodo 2ši; ha le stesse proprietà formali e differenziali dell'e. con argomento reale. ◆ [ALG] Curva e.: quella rappresentabile mediante una funzione e. (v. oltre). ◆ [PRB] Distribuzione e.: v. dati, statistica dei: II 85 f. ◆ [ALG] Equazione e.: equazione trascendente nella quale la o le incognite compaiono nell'esponente di una potenza; nei casi più semplici possono essere risolte considerando il logaritmo di entrambi i membri dell'equazione. ◆ [ANM] Funzione e.: funzione nella quale la o le variabili indipendenti compaiono nell'esponente di una potenza: per es., y=ax; se priva di ulteriori qualificazioni, la funzione e. per antonomasia è quella in cui base della potenza è la base dei logaritmi naturali, cioè la costante di Nepero e, e allora si usa il simb. exp: per es., y=ex si scrive y=expx (per la base e si ha: e=exp1). La conoscenza della funzione exp risolve il problema del calcolo di ogni altra funzione e., in quanto, per es., y=ax=exp(xlna). Nella tab. sono riportati alcuni valori della funzione y=expx, mentre la fig. mostra il diagramma cartesiano (curva e.) di funzioni e., anche per valori a≠e. La funzione exp ha varie proprietà notevoli; alcune di queste derivano dalle proprietà delle potenze, quale, per es., expx expy=exp(x+y), expx/expy=exp(x-y). Per quanto riguarda le proprietà differenziali, si tratta di una funzione infinitamente derivabile e le sue derivate sono ancora e.; precis., per l'e. di una sola variabile x, è (d/dx) expx=expx, oppure, se, in generale, si tratta dell'e. di una funzione, si ha (d/dx)exp(f(x))= f'(x)exp(f(x)), ecc.; per gli integrali indefiniti si ha ∫expxdx=expx+cost, ∫exp (ax)dx=(1/a)exp (ax)+cost, ∫xnexp(ax)dx=(1/a) xnexp(ax)-(n/a)∫xn-1 exp(ax)dx, sempre con a≠0. La relativa semplicità di queste espressioni giustifica il largo uso che si fa, appena possibile, della forma e. per rappresentare grandezze fisiche, per es. grandezze ondose (rappresentazione e.: v. onda: IV 235 d). ◆ [LSF] Grandezza e.: grandezza legata ad altre da una relazione funzionale di tipo e., di fenomeno governato da una legge in cui compaia una funzione e., e simili. ◆ [ANM] Serie e.: lo sviluppo in serie di exp(x) nell'intorno di x=0, cioè la serie exp(x)=1+(x/1!)+ (x2/2!)+(x3/3!)+..., che converge per ogni x, anche complesso.