EREDITARIETÀ MECCANICA

EREDITARIETÀ MECCANICA

. Ricordiamo i cosiddetti fenomeni di isteresi, elastica e magnetica (A. Ewing, J. Hopkinson, M. Cantone), fermandoci per semplicità sui casi elementari e tipici.

Un filo elastico, fissato a un estremo, sia caricato all'altro estremo da pesi variabili, da prima crescenti, poi decrescenti. L'allungamento del filo, in corrispondenza a un dato peso, non è, durante la diminuzione dei pesi, eguale a quello subito dal filo, in corrispondenza al medesimo peso, durante l'accrescimento dei pesi. Dunque la deformazione attuale non dipende soltanto dal peso attuale, ma da tutti i pesi precedenti. In generale, in un corpo elastico la deformazione attuale in un punto non dipende soltanto dagli sforzi attuali in quel punto, ma da tutti gli sforzi che si sono antecedentemente esercitati su quel punto.

Mediante una corrente elettrica si produca in un punto di un campo, occupato da una sbarra di ferro, una forza magnetica variabile, dapprima crescente, poi decrescente. L'induzione magnetica nel punto considerato, per un certo valore della forza magnetica in fase di decrescimento, non è eguale all'induzione per lo stesso valore della forza magnetica durante la fase d'accrescimento. Dunque l'induzione attuale non dipende soltanto dalla forza magnetica attuale, ma da tutti i valori assunti precedentemente dalla forza magnetica. In generale, in un campo elettromagnetico il valore attuale dell'induzione elettrica o magnetica non dipende soltanto dai valori attuali della forza elettrica o magnetica, ma anche da tutti i valori assunti per il passato dall'una o dall'altra di tali forze.

Si constata dunque sperimentalmente, in entrambi questi ordini di fenomeni, che lo stato attuale dipende da tutti i precedenti. Si esce così dagli schemi del determinismo meccanico classico, in cui tutto il futuro (al pari del passato) di un sistema risulta univocamente determinato dal suo stato cinetico in un determinato istante.

Come nello schema classico (prescindendo da difficoltà d'ordine filosofico) si è trovato comodo supporre che si esercitino azioni a distanza fra corpi non contigui nello spazio, così torna proficuo (a schematizzare fenomeni del tipo dell'isteresi) ammettere che l'effetto d'una causa si manifesti anche a distanza di tempo, in guisa che lo stato futuro d'un corpo dipenda non soltanto dal suo stato attuale e dalle cause che attualmente su esso agiscono, bensì anche da quelle che agirono per il passato.

Si viene così a istituire una meccanica, in cui ogni azione lascia una eredità nel futuro. Il corpo conserva, per così dire, memoria delle azioni passate.

I fenomeni ereditarî furono studiati fisicamente da L. Boltzmann, ma è a V. Volterra che si deve l'istituzione di quel ramo della filosofia naturale che va sotto il nome di meccanica ereditaria. Per dare un'idea dei procedimenti matematici di cui essa si vale, si consideri il semplice caso del filo teso da un carico variabile. In assenza di ereditarietà, l'allungamento del filo è proporzionale al carico p. Tenendo conto dei fenomeni ereditarî, l'allungamento x è eguale all'allungamento precedente, aumentato d' un allungamento X, che dipende da tutti i valori presi dal carico, da un certo istante iniziale (anteriormente al quale si trascura ogni azione ereditaria) fino all'istante attuale t. X dipende dunque da infinite variabili, tutti i valori di p, dall'istante 0 all'istante t. X è un funzionale della funzione p(τ), essendo τ compreso fra 0 e t (v. funzionali): si può anche dire che è una funzione della linea che rappresenta geometricamente la funzione precedente. Nei fenomeni ereditarî ogni azione ereditaria svanisce indefinitamente col tempo. Non solo, ma se la funzione p(τ) è periodica, anche x è periodico, e con lo stesso periodo T di p. Allora un punto di coordinate p ed x descriverà un ciclo chiuso col periodo T. Se questa condizione è soddisfatta per tutti i periodi possibili, si dimostra che l'eredità è invariabile, cioè lo stato del corpo, in un dato istante, non dipende da questo istante, ma soltanto dalla storia anteriore all'istante considerato. Se ora, nel caso del filo sollecitato a tensione, si suppone, in prima approssimazione, che X dipenda linearmente dai valori assunti da p (eredità lineare), si ha:

essendo Φ (t, τ) una funzione che caratterizza il fenomeno ereditario, e che si dice coefficiente di eredità. La soluzione dei varî problemi, che si presentano nello studio del caso concreto accennato, non dipende dunque dalla risoluzione di equazioni differenziali, bensì dalla soluzione di equazioni integro-differenziali.

Quanto è stato detto per il particolare problema accennato, si estende ai problemi più complessi in cui lo stato d'un corpo, caratterizzato da assegnati parametri, non dipende soltanto dal valore di questi parametri nell'istante attuale, ma anche da tutti i loro valori in un intervallo di tempo precedente. In generale, mentre l'algoritmo che presiede la meccanica e la fisica non ereditarie è costituito dalle equazioni differenziali, l'algoritmo della meccanica e della fisica ereditarie è costituito dalle equazioni integro-differenziali e dal calcolo funzionale (v. equazioni; funzionali).