equivalenza categorica

equivalenza categorica

Una categoria C è composta da: (a) una classe ObC (non necessariamente un insieme, dunque) di oggetti, per esempio enti matematici (gruppi o loro rappresentazioni, spazi vettoriali o topologici, varietà ecc.); (b) una classe MorC di morfismi o frecce, applicazioni da un oggetto a un altro (per es., rispettivamente omomorfismi o operatori di allacciamento tra rappresentazioni, applicazioni lineari o continue, applicazioni regolari ecc.). A un morfismo α sono per ipotesi associati un oggetto di partenza d₀(῝῝῝῝῝῝῝῝῝῝῝῝῝῝῝῝῝῝α) (dominio) e uno di arrivo d₁(α) (codominio), mentre per ogni oggetto A si suppone assegnato un morfismo identità id_Α:A→A. La classe di morfismi da un oggetto A a un oggetto B in una categoria C si indica con Hom_C(A,B). Dati due morfismi α e β in Hom_C(A,B) e Hom_C(B,C) rispettivamente, esiste un morfismo β o α in Hom_C(A,C) detto composizione; per ogni α di A verso A′ si ha id_Α′°α=α e α°id_Α′=α. Un funtore F:C→D consiste di due applicazioni: una assegna a ogni oggetto A di ObC un oggetto F(A) di ObD, l’altra a ogni morfismo α di Hom_C(A,B) un morfismo F(α) di Hom_D(F(A),F(B)). Si assume che la struttura categorica sia conservata, ovvero F(id_Α)=id_Φ(Α) e F(αβ)=F(α)F(β) se la composizione è definita. In particolare, in una categoria C è sempre definito il funtore identità id_C:C→C che trasforma ogni oggetto e morfismo in sé stesso. L’omologia e l’omotopia forniscono esempi di funtori (denotati H_ν e π_ν) dalla categoria degli spazi topologici verso la categoria dei gruppi abeliani. Esiste anche un terzo livello di struttura: se F e G sono funtori dalla categoria C alla categoria D, una trasformazione naturale η:F→G è un’applicazione che assegna a ogni oggetto A di C un morfismo η_Α:F(A)→G(A) in D tale che per ogni α:A→B in C è verificata l’uguaglianza G(α)°η_Α=η_Β°F(α). Se η_Α è un isomorfismo per ogni oggetto A di C, η è detta isomorfismo naturale. Si definisce allora equivalenza tra due categorie C e D un funtore F:C→D tale che esistano un funtore ‘inverso’ G:D→C e due isomorfismi naturali η₁:F°G→id_D e η₂:G°F→id_C. Il funtore G non è dunque inverso del funtore F nell’usuale accezione algebrica (la loro composizione è la mappa identica) ma in un senso più generale, per così dire a meno di isomorfismo.

→ Invarianti, teoria degli