equazione

equazione

equazióne [Der. del lat. aequatio -onis "uguaglianza, uguagliamento", da aequare "uguagliare"] [LSF] Uguaglianza tra due espressioni (il primo e il secondo membro dell'e.) contenenti una o più variabili oppure funzioni di una o più variabili oppure uno o più enti di altra natura (le incognite dell'e.); se tale uguaglianza è soddisfatta per qualunque determinazione delle dette incognite, l'e. si dice propr. e. identica o identità; se ciò non è, si ha un'e. vera e propria e si chiama allora soluzione dell'e. ogni determinazione delle incognite (ve ne può essere più d'una) che la rende soddisfatta e risoluzione dell'e. il procedimento (ve ne può essere più d'uno) che porta a una soluzione. E. di svariati tipi, i più importanti dei quali sono ricordati più avanti s'incontrano spessissimo, oltre che nella matematica, nelle scienze in genere e in partic. nella fisica e nella tecnica, le varie leggi e principi delle quali traducendosi appunto in e.; per quelle non ricordate nel seguito si rinvia al termine di qualificazione. ◆ [CHF] Notazione che indica in forma abbreviata le trasformazioni subite da un sistema materiale in una reazione chimica; nel membro di sinistra si pongono le formule delle sostanze che prendono parte alla reazione e in quello di destra quelle delle sostanze che si formano; i due membri sono separati da una freccia che indica il verso secondo cui procede la reazione oppure da un segno di uguaglianza o da due frecce dirette in senso opposto, →←, quando si tratta di reazioni di equilibrio; talora s'indica anche l'energia termica assorbita (al primo membro) o sviluppata (al secondo membro). ◆ [ASF] Nell'astrofisica e nell'astronomia ha, oltre al signif. matematico, anche quello di quantità che si deve aggiungere o togliere a qualcosa per renderla uguale a qualche altra, come appare dalle locuz. ricordate nel seguito (e. annua della Luna, del tempo, ecc.). ◆ [ALG] E. algebrica: quella consistente nell'uguagliare a zero un polinomio in una o più variabili; grado dell'e. rispetto a una variabile in essa è il grado che il polinomio ha per quella variabile. Il caso più semplice è quello dell'e. di grado n in una sola incognita reale x: a₀xn+a₁xn-1 +...+an-1x+an=0, ove a₀€0 e le ak sono numeri reali o complessi (o più in generale appartenenti a un campo algebrico). Si dice radice o soluzione dell'e. un valore α che la renda soddisfatta, tale cioè che a₀αn+a₁αn-1+...+an-1α+an=0. Accade allora che il polinomio a₀xn+a₁xn-1+...+an-1x+an è divisibile per x-α; se inoltre esso è divisibile per (x-α)s, ma non per (x-α)s+1, il numero s(≥1) si dice la molteplicità della radice α, e si parla di radice s-pla. Per le e. algebriche valgono numerosissime proprietà quali: le radici sono funzioni (algebriche) continue dei coefficienti; le funzioni simmetriche delle radici sono funzioni razionali dei coefficienti; ecc. Ricordiamo inoltre il teorema di Ruffini-Abel: le e. algebriche di grado inferiore a 5 sono risolubili per radicali; quelle di grado 5 o superiore non lo sono se i coefficienti sono generici. L'espressione "risolubile per radicali" significa che i valori delle soluzioni si possono costruire a partire da quelli dei coefficienti eseguendo solo un numero finito di operazioni razionali e di estrazioni di radice (di indice intero); in altre parole, per tutte le equazioni di grado 1, 2, 3, 4 esistono formule risolutive espresse in termini finiti. La condizione necessaria e sufficiente perché un'e. algebrica sia risolubile per radicali fu scoperta da E. Galois. Se ci si pone nel campo dei numeri complessi vale il teorema fondamentale dell'algebra: ogni e. algebrica ammette almeno una radice; di esso è corollario immediato il teorema (chiamato spesso con lo stesso nome): ogni e. algebrica di grado n, non identica, ammette n radici (che potranno essere reali o complesse), nel senso che la somma delle molteplicità delle radici distinte è n. Per un'e. algebrica, in una incognita, a coefficienti reali, si ha che se essa ammette radici complesse, queste sono a coppie complesse coniugate (quindi un'e. a coefficienti reali, di grado dispari, ha sempre almeno una radice reale); inoltre, vale la seguente regola di Cartesio: il numero delle variazioni (di segno) nella successione dei coefficienti è uguale al numero delle radici positive dell'e. (tenuto conto della loro molteplicità) oppure lo supera di un numero pari; lo stesso può affermarsi delle permanenze di segno e delle radici negative. Per un'e. in più incognite si definirà, analogamente, soluzione ogni gruppo di valori delle incognite che soddisfano l'e. stessa; soluzione di un sistema di più e. sarà una soluzione comune a tutte le e. del sistema; ecc. ◆ [ALG] E. algebrica omogenea: un'e. algebrica in più variabili i cui termini abbiano tutti lo stesso grado (cioè, è omogeneo il polinomio che la costituisce). ◆ [ASF] E. annua della Luna: nella teoria del moto della Luna, uno dei termini principali della serie che descrive il moto dell'astro: v. meccanica celeste: III 670 a. ◆ [ANM] E. astratta: quella relativa a un problema di Cauchy astratto: v. semigruppo: V 167 c. ◆ [ANM] E. autonoma: v. equazioni differenziali ordinarie nel campo reale: II 455 a. ◆ [TRM] E. calorica di stato: v. stato, equazione di: V 610 a. ◆ [FML] E. cinetica: e. del moto per la funzione di distribuzione classica di una particella nello spazio delle fasi: v. liquido quantistico di particelle cariche: III 436 d. ◆ [ELT] E. dei circuiti logici, applicative e caratteristiche: v. circuiti logici: I 620 f, 621 a. ◆ [ANM] E. del calore, o della diffusione: è l'e. differenziale alle derivate parziali che descrive la propagazione del calore in un mezzo, ed è il prototipo delle e. paraboliche: v. equazioni differenziali alle derivate parziali: II 444 e. ◆ [MCC] E. delle costanti del moto: e. differenziale in cui grandezze cinematiche sono correlate alle rispettive cause dinamiche, tale che la sua soluzione sia l'e. oraria del moto: v. moto, costanti del: IV 121 b. ◆ [STF] [FAF] E. del mondo: espressione, usata da alcuni evoluzionisti del sec. 19°, del più rigoroso determinismo meccanicistico, per cui, data la ferrea dipendenza di causalità che lega i fenomeni, tanto il passato quanto l'avvenire sarebbero compiutamente conoscibili in base a un'esatta e completa nozione delle forze e delle rispettive posizioni degli elementi naturali in un dato momento del tempo. Uno dei più rigorosi assertori di tale determinismo, che parve trovare una sua base nelle ricerche naturalistiche del sec. 19°, fu P.-S. de Laplace. ◆ [ASF] E. del tempo: la differenza tra il tempo solare vero e il tempo solare medio: → tempo. ◆ [ANM] E. determinante: e. che interviene nella risoluzione di e. differenziali lineari del secondo ordine: v. equazioni differenziali ordinarie nel campo reale: II 459 b. ◆ [ALG] E. di campo: l'e. che precisa la dipendenza della grandezza del campo (scalare, vettore, ecc.) dalle coordinate spaziali e dal tempo: v. campi, teoria classica dei: I 468 f. ◆ [MCF] E. di continuità: v. idrodinamica: III 151 b. ◆ [MCC] E. di evoluzione: v. hamiltoniani, sistemi infinito-dimensionali: III 145 e. ◆ [ANM] E. differenziale: ogni e. in cui compaiano funzioni incognite insieme a loro derivate, totali o parziali; il massimo ordine di tali derivate è detto ordine dell'e. differenziale. ◆ [ANM] E. differenziale a coefficienti omogenei: v. equazioni differenziali ordinarie nel campo reale: II 450 a. ◆ [ANM] E. differenziale aggiunta e autoaggiunta: v. equazioni differenziali ordinarie nel campo reale: II 452 d. ◆ [ANM] E. differenziale ai differenziali esatti: v. equazioni differenziali ordinarie nel campo reale: II 449 f. ◆ [ANM] E. differenziale alle derivate parziali: quella in cui compaiono derivate parziali delle funzioni incognite: v. equazioni differenziali alle derivate parziali. ◆ [ANM] E. differenziale alle derivate parziali lineari, quasi lineari e semilineari: v. equazioni differenziali alle derivate parziali: II 439 b sgg. ◆ [ANM] E. differenziale a variabili separabili: v. equazioni differenziali ordinarie nel campo reale: II 449 f. ◆ [ANM] E. differenziale delle onde: l'e. differenziale alle derivate parziali che regola la propagazione delle onde, prototipo delle e. iperboliche: v. equazioni differenziali alle derivate parziali: II 442 b, 443 c. ◆ [ANM] E. differenziale ellittica: v. equazioni differenziali alle derivate parziali: II 443 c. ◆ [ANM] E. differenziale funzionale: quella nella quale funzioni incognite siano dei funzionali. ◆ [ANM] E. differenziale iperbolica: v. equazioni differenziali alle derivate parziali: II 442 b, 444 b. ◆ [ANM] E. differenziale lineare: quella nella quale le quantità differenziali, di qualunque ordine, compaiono tutte alla prima potenza: v. equazioni differenziali ordinarie nel campo reale: II 451 e. ◆ [ANM] E. differenziale lineare alle derivate parziali del primo ordine e del secondo ordine: v. equazioni differenziali alle derivate parziali: II 442 d, 443 c. ◆ [ANM] E. differenziale omogenea e non omogenea: v. equazioni differenziali ordinarie nel campo reale: II 452 a. ◆ [ANM] E. differenziale ordinaria: quella in cui le incognite compaiono in derivate ordinarie; si contrappone a e. alle derivate parziali. ◆ [ANM] E. differenziale parabolica: v. equazioni differenziali alle derivate parziali: II 442 b, 444 e. ◆ [ANM] E. differenziale periodica: v. equazioni differenziali ordinarie nel campo reale: II 462 f. ◆ [ANM] E. differenziale stocastica: v. equazioni differenziali stocastiche. ◆ [PRB] E. differenziali stocastiche su varietà: v. geometria differenziale stocastica: III 36 b. ◆ [ANM] E. differenziale ultraiperbolica: v. equazioni differenziali alle derivate parziali: II 442 b. ◆ [ASF] E. di, o della, luce: correzione che bisogna apportare all'istante di osservazione di un astro del Sistema Solare (Sole, pianeta, satellite, cometa, ecc.) per tenere conto del tempo impiegato dalla luce di esso per giungere all'osservatore; per il Sole è pari a 498.38 s (in media). ◆ [TRM] E. di stato: relazione tra le diverse variabili di un sistema fisico con un grande numero di gradi di libertà: v: stato, equazione di. Nella sua forma più semplice, quando la composizione del sistema non varia, essa lega tra loro la pressione, la temperatura e il volume o la massa volumica; in ogni caso è essenziale per studiare le grandezze termodinamiche del sistema, l'equilibrio tra le varie fasi (nei sistemi eterogenei) e la conservazione dell'energia. ◆ [MCS] E. di stato dal teorema del viriale: v. gassoso, stato: II 838 e. ◆ [ALG] E. di una curva e di una superficie: quella, detta anche rappresentazione, esistente per le coordinate dei punti della curva o della superficie in un dato riferimento; a seconda della natura di quest'ultimo, si parla di e. cartesiana, polare, in coordinate cilindriche, in coordinate sferiche della linea o della superficie: v. curve e superfici: II 73 f sgg. ◆ [ALG] [ANM] E. equivalenti: e. che derivano l'una dall'altra e che quindi hanno le stesse soluzioni. ◆ [ALG] [ANM] E. esplicita: per un'e. di più variabili e rispetto a una di queste variabili, la forma dell'e. quando riesca a isolare in un membro tale variabile. ◆ [EMG] E. generale dell'elettrostatica: l'e. di Poisson dell'elettrostatica: v. elettrostatica nel vuoto: II 385 f. ◆ [ALG] [ANM] E. implicita: per un'e. di più variabili e rispetto a una delle variabili, ogni forma in cui tale variabile non sia isolabile in un membro. ◆ [ANM] E. integrale: ogni e. nella quale le incognite compaiano come integrandi: v. equazioni integrali. ◆ [ANM] E. integro-differenziale: ogni e. nella quale le incognite compaiano sia come quantità integrande, sia in operazioni di derivazione; in genere sono riducibili a e. differenziali mediante opportuna derivazione. ◆ [ANM] E. lineare affine: lo stesso che e. lineare non omogenea: v. equazioni differenziali ordinarie nel campo reale: II 452 a. ◆ [MCC] E., o legge, oraria del moto: la relazione che dà l'ascissa (in genere, curvilinea) di un punto in moto in funzione del tempo. ◆ [MTR] E. personale: l'errore di misura derivante dal complesso degli errori personali, cioè degli errori d'osservazione derivanti da peculiarità di chi esegue l'osservazione (per es., il modo di appurare la contemporaneità di due eventi, la posizione di un indice su una scala, ecc.), sensibilmente sistematici per uno stesso osservatore, ma variabili largamente da osservatore a osservatore: v. misure fisiche: IV 48 c. ◆ [GFS] E. primitiva: v. meteorologia sinottica: III 809 e. ◆ [MTR] E. principale tra grandezze: v. unità di misura, sistemi di: VI 406 b. ◆ [MCC] E. pura: v. meccanica classica: III 682 a. ◆ [MCQ] E. radiale: v. potenziale coulombiano nella meccanica quantistica: IV 565 e. ◆ [ANM] E. semilineare: v. semigruppo: V 173 a. ◆ [ASF] E. solare: nome dato, nella correzione gregoriana del calendario, alla soppressione dell'anno bisestile negli anni secolari non multipli di 400; grande e. solare, la soppressione dei 10 giorni (passando dalla data del 4 ottobre 1582 alla data del 15 ottobre) per riportare l'equinozio di primavera al 21 marzo. ◆ [ANM] E. trascendenti: e. non algebriche, ottenute cioè uguagliando a zero una funzione della variabile (o delle variabili, secondo che si tratti di equazione a una o più incognite) che non si riduce a un polinomio: sono esempi di e. trascendenti le e. esponenziali, nelle quali l'incognita compare nel-l'esponente, oppure le e. trigonometriche, nelle quali l'incognita compare nell'argomento di funzioni trigonometriche. ◆ [ALG] [ANM] E. vettoriale: quella nella quale le funzioni incognite sono vettori (propr., le componenti di vettori). ◆ [ANM] Integrale e integrazione di un'e. differenziale: lo stesso che soluzione e risoluzione dell'e., rispettivamente. ◆ [TRM] Metodo delle e. integrali: v. stato, equazione di: V 611 f. ◆ [ANM] Ordine di un'e. differenziale: l'ordine maggiore tra quelli delle derivate che vi compaiono. ◆ [ANM] Risoluzione numerica di e. differenziali ordinarie e alle derivate parziali: v. calcolo numerico: I 409 d, 411 a. ◆ [ANM] Soluzione locale di un'e. differenziale alle derivate parziali: v. equazioni differenziali alle derivate parziali: II 440 f.