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equazione integrale

Enciclopedia della Matematica (2013)
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equazione integrale


equazione integrale equazione in cui l’incognita y(x) è una funzione che compare sotto un segno di integrazione. Le equazioni integrali si dicono di prima specie se l’incognita compare solo sotto l’integrale, di seconda specie se compaiono anche al di fuori di tale segno. Si distinguono poi le equazioni integrali in equazioni di → Volterra, se un estremo dell’integrale è variabile, ed equazioni di → Fredholm se gli estremi dell’integrale sono fissi. Si hanno pertanto i quattro tipi seguenti:

• Volterra, I specie:

formula

• Volterra, II specie:

formula

• Fredholm, I specie:

formula

• Fredholm, II specie:

formula

Nel caso lineare la funzione F ha la forma F(x, t, y) = K(x, t)y, dove la funzione K si dice nucleo.

Alle equazioni di seconda specie si perviene in particolare considerando i problemi di → Cauchy e i problemi ai limiti per un’equazione differenziale ordinaria (→ equazione differenziale, problemi ai limiti per una). Infatti integrando l’equazione y′ = ƒ(x, y), per il problema di → Cauchy y(x0) = y0 si ottiene

formula

che è una equazione integrale di Volterra. Analogamente un problema ai limiti omogeneo nell’intervallo [a, b] per l’equazione lineare (p(x)y′ )′ − q(x)y + λr(x)y = 0 si trasforma, mediante le identità di → Lagrange, nell’equazione integrale di Fredholm

formula

dove G è la funzione di → Green, associata al problema. Le equazioni integrali di Volterra, sotto opportune ipotesi (per esempio, una condizione di → Lipschitz del nucleo rispetto all’incognita y) hanno una e una sola soluzione. Per quelle di Fredholm (nel caso lineare) invece si ha la possibilità di autovalori, per i quali l’equazione omogenea può ammettere infinite autosoluzioni.

Vedi anche
Erik Ivar Fredholm Matematico svedese (Stoccolma 1866 - Mörby, presso Stoccolma, 1927); prof. (1906) di meccanica razionale e di fisica matematica all'univ. di Stoccolma. Socio straniero dei Lincei (1913). F. è, con V. Volterra, il creatore (1903) di uno dei rami più importanti della matematica, la teoria delle equazioni ... equazione Matematica Definizioni Si chiama e. un’uguaglianza tra due espressioni contenenti una o più variabili ovvero una o più funzioni o anche enti di natura più generale ( incognite dell’e.); se essa è soddisfatta, qualunque sia la determinazione delle variabili o delle funzioni o degli enti che sono presenti ... Vito Voltèrra Matematico italiano (Ancona 1860 - Roma 1940). Docente a Roma, nel 1931, non avendo giurato la fedeltà al regime fascista, fu costretto a dimettersi dall'insegnamento. V. ottenne risultati fondamentali nel campo delle equazioni a derivate parziali, della fisica matematica, delle equazioni integrali (equazioni ... spettro In varie discipline scientifiche e tecniche, termine frequentemente usato per indicare la composizione armonica di una grandezza variabile nel tempo. Botanica tabellaS. biologico Lo s. ottenuto dalle percentuali delle diverse forme biologiche. Originariamente queste forme erano raggruppate in 5 classi ...
Tag
  • EQUAZIONE DIFFERENZIALE ORDINARIA
  • EQUAZIONE INTEGRALE DI VOLTERRA
  • EQUAZIONE INTEGRALE DI FREDHOLM
  • IDENTITÀ DI → LAGRANGE
  • PROBLEMA DI → CAUCHY
Vocabolario
integrale
integrale agg. e s. m. [dal lat. tardo integralis, der. di intĕger «integro, intero»]. – 1. agg., non com. Di elemento che fa parte di un tutto, che concorre alla costituzione di un intero (sinon. quindi di integrante): i corpi i. del mondo...
equazióne
equazione equazióne s. f. [dal lat. aequatio -onis, der. di aequare «uguagliare»]. – Propr., uguaglianza, uguagliamento, pareggiamento. Il termine, raro con uso generico (si adopera tuttavia, a volte, nel linguaggio letter. e in frasi di...
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