entropia di Kolmogorov-Sinai

entropia di Kolmogorov-Sinai

Consideriamo una sequenza x^τ₁,x^τ₂,x^τ₃,..., con x^τ_Ϛ=x(jτ), ottenuta campionando una traiettoria generata da una condizione iniziale x^τ₀=x(0) e si introduca una partizione A dividendo lo spazio delle fasi Ω in elementi disgiunti a₁,a₂,...,a_Μ tali che l’unione di tutti gli elementi sia l’intero spazio delle fasi. In questo modo per ogni condizione iniziale si ha una successione di numeri interi i₁,i₂,... corrispondenti alle celle occupate dalla traiettoria al tempo τ,2τ, ..., ossia se x^τ_Ϛ∈a_ϰ allora i_Ϛ=k. In analogia con la teoria dell’informazione, si può definire l’entropia delle successioni S_ν di lunghezza n (per es., se M=2 allora per n=2 si hanno le quattro possibili S₂ [1;1];[1;2]; [2;1] e [2;2]) con la

dove la probabilità P(S_ν) è ottenuta dalla frequenza con cui la successione di simboli S_ν compare nella sequenza (arbitrariamente lunga) i₁, i₂, ... A partire da essa si introduce poi l’entropia di Shannon

nτ Il valore di τ, almeno a livello concettuale, non è essenziale. Prendendo l’estremo superiore su tutte le possibili partizioni A si ottiene l’entropia di Kolmogorov-Sinai h_ΚΣ

In alcuni sistemi esiste una particolare partizione, detta generante, tale che dalla successione i₁,i₂, ...,i_Ν è possibile risalire alla condizione iniziale x(0) con precisione arbitraria al crescere di N. In una partizione generante l’entropia di Shannon coincide con l’entropia di Kolmogorov-Sinai. Nei casi (tipici) in cui non esiste una partizione generante, l’estremo superiore nell’espressione data per l’entropia di Shannon si ottiene prendendo partizioni costituite da cellette regolari di lati ε con ε→0. Data una partizione sufficientemente accurata, il numero di successioni effettivamente osservate cresce esponenzialmente con il tempo t=nτ

Con ‘effettivamente osservate’ si intende che l’insieme di queste successioni nel limite τ→∞ ha probabilità 1. L’entropia di Kolmogorov-Sinai è strettamente connessa con gli esponenti di Lyapunov λ_ι. È stato dimostrato da Yakov B. Pesin che h_ΚΣ è la somma degli esponenti di Lyapunov positivi

→ Caos deterministico; Sistemi dinamici. Origini e sviluppi