ELLISSOIDE
ELLISSOIDE:
- Se si fa rotare un'ellisse intorno ad uno dei suoi assi (v. coniche), si ottiene una superficie che si dice ellissoide di rotazione.
Se Oxyz è una terna cartesiana di assi ortogonali, alla quale sempre ci riferiremo, e
è l'equazione cartesiana dell'ellisse generatrice, supposta giacente inizialmente nel piano xz e riferita ai suoi assi e al suo centro O, l'equazione dell'ellissoide generato per rotazione intorno all'asse delle z si ottiene sostituendo in (1) ad x2 il binomio x2 + y2. Si ha così
e l'ellissoide si dice allungato o schiacciato secondo che è a 〈 c o a > c, cioè secondo che la rotazione dell'ellisse avviene intorno all'asse maggiore o minore. Una qualsiasi sezione piana dell'ellissoide (2) è un'ellisse, ad eccezione di quelle che giacciono su piani ortogonali all'asse di rotazione Oz, che sono circolari (paralleli dell'ellissoide di rotazione).
Più generalmente, si dice ellissoide la superficie avente per equazione
nella quale le tre costanti a, b, c (semiassi dell'ellissoide) sono disuguali. La (3) è una particolare equazione algebrica di 2° grado in x, y, z; nel linguaggio geometrico, ciò si esprime dicendo che l'ellissoide è una particolare quadrica o superficie algebrica del 2° ordine.
In generale, si dà il nome di quadrica a ogni superficie luogo dei punti x, y, z dello spazio che soddisfano a un'equazione del tipo
nella quale si suppone che i coefficienti reali aik (i, k = 1, 2, 3, 4) soddisfino alle condizioni di simmetria aik = aki.
In geometria analitica si dimostra che ogni equazione (4) è riducibile alla forma (3), mediante un'opportuna trasformazione di coordinate ortogonali, sempre e solo quando i coefficienti numerici aik soddisfano alle seguenti disuguaglianze
Queste dunque costituiscono un criterio per riconoscere se una generica equazione di 2° grado in x, y, z rappresenti o no un ellissoide.
I piani (sempre esistenti), due a due ortogonali, rispetto ai quali la (4) assume la forma (3), si dicono i piani principali dell'ellissoide, mentre le rette determinate da questi si dicono gli assi principali. Nella (3) essi sono rispettivamente i piani e gli assi coordinati e l'origine O è il centro dell'ellissoide. Le tre coppie di punti aventi rispettivamente da O le distanze a, b, c, in valore assoluto, si dicono i vertici.
Nel seguito supporremo a, b, c in ordine di grandezza decrescente a ≥ b ≥ c, con che gli assi massimo, medio e minimo giacciono rispettivamente sugli assi coordinati Ox, Oy, Oz.
Le equazioni delle sezioni dell'ellissoide con i piani coordinati si ottengono da (3) sopprimendo ogni volta uno degli addendi del primo membro; queste sezioni si dicono le ellissi principali dell'ellissoide. Anche ogni altra sezione piana è, in generale, un'ellisse. Si dimostra che esistono due piani reali distinti (detti ciclici), passanti per il centro dell'ellissoide e producenti sezioni circolari.
Supposto a > b > c (con che gli assi massimo, medio e minimo giacciono rispettivamente sugli assi coordinati x, y, z) codesti due piani passano per l'asse medio 2b e hanno l'equazione complessiva
Si dimostra pure che se una sezione piana C è circolare, è tale anche ogni sezione fatta con piani paralleli a quello cui appartiene C. Le sezioni circolari dell'ellissoide si distribuiscono così in due serie, ciascuna delle quali proviene da uno dei piani (5).
Tali serie di sezioni circolari vengono a coincidere quando l'ellissoide sia di rotazione; se, come si è supposto in (1), l'asse di rotazione è Oz, si ha a = b e dall'equazione (5) che, in tal caso, si riduce al piano z = 0, contato due volte, viene confermato il fatto, già rilevato, che tutte e solo le sezioni circolari sono quelle appartenenti ai piani perpendicolari a Oz.
Le rette normali ai piani (5), passanti per O, luoghi dei centri delle sezioni circolari, intersecano l'ellissoide in due coppie di punti che si dicono ombelichi o punti circolari; questi appartengono all'ellisse principale del piano xz e hanno per coordinate
Se u, v, w sono le coordinate tangenziali o plückeriane di un piano tangente all'ellissoide (3), l'equazione di questo, considerato come inviluppo di piani, si scrive
Se si fa una combinazione lineare di quest'equazione con quella dell'assoluto dello spazio u2 + v2 + w2 = 0 (v. ciclici, punti; geometria) si ha una schiera di quadriche
che si dicono le quadriche confocali dell'ellissoide dato. L'equazione cartesiana delle quadriche della schiera è
Queste hanno lo stesso centro e gli stessi piani principali dell'ellissoide e determinano su ciascuno di tali piani una schiera di coniche confocali.
Si dice fuoco di un ellissoide ogni punto dello spazio per il quale il cono circoscritto (reale o immaginario) all'ellissoide riesce rotondo; e si dimostra che i fuochi si distribuiscono su un'ellisse e su un'iperbole (dette focali) comuni a tutte le quadriche della schiera (6), cui appartiene l'ellissoide dato. Ciò dà ragione della denominazione attribuita alle quadriche della schiera (6).
L'ellisse focale appartiene al piano xy ed è tutta interna all'ellissoide, mentre l'iperbole focale che appartiene al piano xz interseca ad angolo retto l'ellissoide nei quattro ombelichi di questo.
La (6) è un'equazione algebrica di terzo grado nel parametro λ, quando sia stata preventivamente ridotta alla forma intera. Essa ammette sempre tutte tre le radici reali, sicché per ogni punto P (x, y, z) dello spazio passano tre quadriche confocali, che sono un'ellissoide, un iperboloide a una falda e un iperboloide a due falde. Tali quadriche si segano ortogonalmente due a due e costituiscono così, al variare di P nello spazio, ciò che si dice un sistema ortogonale.
Le radici λ1, λ2, λ3 della (6), corrispondenti a un punto P e quindi a una terna di numeri reali x, y, z (sue coordinate cartesiane), possono essere assunte come coordinate del punto P ispirandosi allo stesso concetto cartesiano di assumere come coordinate di P i tre parametri che individuano una terna di superficie (piani) passanti per P e a due a due ortogonali.
Questo sistema di coordinate (v.), dette ellittiche, viene utilmente applicato in questioni di geometria, meccanica, fisica matematica, ecc.
Notevole è l'importanza dell'ellissoide in varie questioni di matematiche applicate. Così in geodesia, la superficie della terra si riguarda, in prima approssimazione, come un ellissoide di rotazione.
Ellissoide d'inerzia. - In meccanica razionale, esso serve a determinare la legge di variazione dei momenti d'inerzia di un sistema materiale intorno a un medesimo punto. Se questo è il baricentro del sistema, l'ellissoide d'inerzia relativo ad esso si dice ellissoide centrale d'inerzia.
Nella (3), 1/a2, 1/b2, 1/c2 rappresentano i momenti d'inerzia del sistema materiale rispetto agli assi principali dell'ellissoide d'inerzia relativo al centro O dell'ellissoide. Quando questo è dato, si ha facilmente il momento d'inerzia I rispetto ad una retta r passante per O. Basta considerare uno dei punti P in cui la r interseca l'ellissoide e si ha I = 1/OP2.
Ellissoide delle dilatazioni o di deformazione. - Si consideri un mezzo continuo (ad es., un fluido) e ci si proponga di studiare come vanno le cose intorno a una determinata particella P del mezzo, quando si assoggetta questa a una deformazione. Se P1 è il corrispondente di P nel mezzo deformato e P′, P1′, due punti analoghi, infinitamente vicini a P e P1, al rapporto
si dà il nome di coefficiente di dilatazione dell'elemento PP′. Ebbene, esiste in corrispondenza ad ogni punto P un ellissoide che serve a determinare la legge di variazione del coefficiente δ al variare dell'orientazione dell'elemento PP′. Se questo, prolungato nel senso da P a P′, interseca l'ellissoide nel punto Q, si ha 1 + δ = 1/PQ.
Ellissoidi di Maclaurin e di Jacobi. - Se ci si propone di ricercare le figure di equilibrio di una massa fluida omogenea che ruoti uniformemente intorno a un asse fisso e di cui le particelle si attraggano secondo la legge del Newton, si trova che alle condizioni volute soddisfano gli ellissoidi di rotazione. In condizioni statiche, la risultante delle forze è ovunque normale alla superficie (Maclaurin). Possono essere figure di equilibrio anche ellissoidi ad assi diseguali, rotanti intorno all'asse minimo (Jacobi).