elemento primo

elemento primo

elemento primo in algebra, generalizzazione del concetto di → numero primo. La generalizzazione a un qualunque dominio di integrità A obbliga a distinguere due concetti, la irriducibilità e la primalità:

• un elemento a di A non nullo e non invertibile è irriducibile se ammette solamente divisori banali, cioè invertibili o a esso associati (→ elementi associati);

• un elemento p di A non nullo e non invertibile è primo se, comunque si prendano a, b ∈ A, se p divide ab allora p divide a oppure p divide b.

In un dominio d’integrità, un elemento primo è sempre irriducibile; in generale, non vale invece il viceversa. Per esempio, in

sottoanello del campo C dei numeri complessi, il numero 2 è un elemento irriducibile, ma non è un elemento primo in quanto esso divide

ma non divide né (1 + √(−5)) né (1 −√(−5)). Se però A è un dominio a fattorizzazione unica, come l’anello Z dei numeri interi o l’anello K|x] dei polinomi a coefficienti in un campo, allora le due nozioni di elemento primo e elemento irriducibile sono equivalenti.