durata

durata

In un’operazione finanziaria è formalmente definita come l’intervallo di tempo che intercorre fra l’inizio e la fine dell’operazione. In operazioni elementari, che consistono semplicemente nell’esborso (introito) di un certo importo a una certa epoca t contro l’introito (esborso) di altro importo (quello iniziale aumentato degli interessi) a una successiva epoca T, la d. è banalmente T−t. La questione è più complicata nel caso di operazioni con una molteplicità di introiti ed esborsi. In questo caso, la differenza di tempo fra il primo e l’ultimo movimento di denaro non ha alcun significato economico. Si preferisce quindi utilizzare la d. media finanziaria (ingl. duration).

Durata media finanziaria di un’obbligazione

La duration (D) di un’obbligazione è la media delle scadenze dei suoi flussi di cassa futuri ponderata con pesi pari alle rispettive quote del valore attuale, calcolato in base alla struttura corrente dei tassi di interesse (➔ interesse, struttura per scadenza dei tassi di p). Nel particolare caso di una struttura piatta (flat yield) dei tassi di interesse con tasso annuo costante i (con tasso istantaneo costante r=ln(1+i)), la flat yield duration risulta pari a D(x)=Σ_kt_k(V_k/V), dove si indicano con t_k (k=1, ..., n), le scadenze dei flussi di cassa x_k, con V_k=x_k(1+i)^−t_k (x_kexp(−rt_k)) i loro valori attuali e con V=Σ_kV_k il valore attuale dell’obbligazione. In particolare, la duration di uno zero coupon bond (➔ obbligazione p) coincide con il suo residuo tempo a scadenza. Esprimendo i valori attuali in funzione del tasso (o, più precisamente, dell’intensità) istantaneo di interesse r, cioè ponendo V=Σ_k x_kexp(−rt_k) e indicando con V_r la derivata di V rispetto a r, si ha V_r=−Σ_kt_kx_kexp(−rt_k), da cui −V_r/V=Σ_kt_k(V_k/V). Essa consente di interpretare la duration come opposto del rapporto fra la derivata, rispetto al tasso istantaneo, del prezzo dell’obbligazione e il prezzo dell’obbligazione stessa; se il tasso sale (scende) il prezzo dell’obbligazione scende (sale) e la duration ne misura la variazione relativa (cioè divisa per il valore dell’obbligazione), cambiata di segno. Se si usano tassi annui, il rapporto fra derivata, rispetto al tasso annuo di interesse, del prezzo dell’obbligazione e prezzo della stessa si dice duration modificata ed è data dal rapporto D/(1+i) fra d. e fattore annuo di capitalizzazione.

Durata media finanziaria stocastica

Si riferisce a situazioni in cui l’evoluzione del tasso istantaneo non è deterministica ma aleatoria, secondo un opportuno processo di diffusione, descritto da un’equazione differenziale (➔ equazione) del tipo dr=f(r, t)dt+g(r, t)dW, dove f, g sono funzioni note del tasso r e del tempo t e dW è il differenziale di un processo di Wiener (una variabile aleatoria con distribuzione normale di media 0 e varianza dt). In molti di questi modelli, il prezzo corrente di un buono senza cedola con scadenza in t_k è espresso in funzione del tasso istantaneo corrente nella forma V_k=A_kexp(−B_kr) con A_k e B_k costanti dipendenti dalla scadenza t_k e dai parametri del processo di diffusione. Indicando con V=Σ_kx_kA_kexp(−B_kr) il prezzo di un’obbligazione con flussi x_k, il rapporto V_r/V risulta ora pari a −Σ_kB_kx_kA_kexp(−B_kr)/Σ_kx_kA_kexp(−B_kr), che è l’opposto di una media ponderata dei coefficienti B_k con pesi V_k/V. Esso è analogo alla duration, misurata non in unità di tempo ma in unità di un suo opportuno trasformatore B_k=B(t_k). Per esprimere la duration in unità di tempo, si sfrutta il fatto che uno Zero Coupon Bond (ZCB) con scadenza T ha tasso istantaneo di rendimento V_r/V=−B_T. Imponendo la condizioneΣ_kB_k(V_k/V)=B_T, otteniamo un’equazione nell’incognita T la cui soluzione porge la duration stocastica dell’obbligazione. Si attribuisce dunque a un’obbligazione la duration stocastica corrispondente alla durata residua di uno ZCB con il medesimo tasso istantaneo di rendimento. La duration matching (pareggio delle d. di attività e passività) gioca un ruolo fondamentale nelle procedure di immunizzazione (➔ immunizzazione, metodi di) di portafogli di attività finanziarie soggette al rischio di tasso, cioè attività il cui valore di mercato dipende in maniera significativa dalla struttura dei tassi di interesse.