dominio euclideo

dominio euclideo

dominio euclideo particolare anello A che rappresenta il contesto più generale in cui poter effettuare la divisione con resto. È un dominio di integrità (cioè un anello unitario, commutativo, privo di divisori dello zero) con un’ulteriore particolarità, modellata proprio sulla richiesta di poter effettuare tale divisione con resto. Come, nel caso dei numeri interi, si richiede che il resto della divisione sia compreso tra 0 e il modulo del divisore e come, nel caso dei polinomi, si richiede che il grado del resto sia minore del grado del divisore, si richiede in questo caso che il resto debba essere, in qualche senso da precisare, più piccolo del divisore. Il senso di tale espressione è formalizzato richiedendo, nella definizione stessa di dominio euclideo, l’esistenza di una valutazione, vale a dire di una funzione v: A{0} → N, definita sull’anello privato dello zero e a valori in N, che soddisfi i due seguenti assiomi, i quali generalizzano alcune proprietà del modulo di un numero intero e del grado di un polinomio:

• per ogni coppia di elementi non nulli a, b dell’anello vale v(a) · v(b) ≤ v(ab);

• per ogni coppia di elementi a e b dell’anello, con b diverso da zero, esistono unici due elementi dell’anello q e r tali che a = bq + r, con v(r) < v(b) oppure con r = 0 (nel qual caso a è divisibile per b).

Gli elementi q e r di cui è richiesta l’esistenza sono detti rispettivamente il quoziente e il resto della divisione euclidea di a per b. L’anello degli interi Z e l’anello K[x] dei polinomi a coefficienti in un campo K sono esempi di domini euclidei: la valutazione coincide con il valore assoluto del numero intero nel primo caso, con il grado del polinomio nel secondo caso. Ogni dominio euclideo è un dominio a ideali principali e un dominio a fattorizzazione unica.