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dominio d'integrita

Enciclopedia della Matematica (2013)
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dominio d'integrita


dominio d’integrità o dominio, anello commutativo unitario e integro, vale a dire privo di divisori dello zero (→ anello). In un dominio d’integrità, come in ogni anello integro, vale la legge di cancellazione del prodotto. Esempi di domini d’integrità sono tutti i campi, l’anello Z dei numeri interi e gli anelli di polinomi Z[x], Q[x], R[x] e C[x]. Più in generale, se D è un dominio d’integrità, allora è tale anche l’anello D[x] dei polinomi a coefficienti in D. Se D è un dominio d’integrità contenente solo un numero finito di elementi, allora esso è necessariamente un campo (teorema di Wedderburn). Se D è un dominio d’integrità, allora è sempre possibile costruire un campo in cui esso risulta immerso. Esiste un campo privilegiato contenente D: esso è detto il campo dei quozienti di D ed è contenuto (a meno di isomorfismo) in ogni altro campo in cui si immerge D. Essere un dominio d’integrità è per un anello condizione necessaria e sufficiente affinché esso possa essere immerso in un campo. Casi particolari di domini d’integrità sono i → domini a fattorizzazione unica, i → domini a ideali principali, i → domini euclidei e i domini di → Dedekind, ottenuti richiedendo ulteriori proprietà.

Vedi anche
ideale Matematica fig.In algebra moderna, si chiama i. in un anello A un particolare tipo di sottoanello I di A tale che il prodotto ai di un qualsiasi elemento a di A per un qualsiasi elemento i di I sia ancora un elemento di I; in simboli: AI ⊂ I. Nel caso di un anello non commutativo vi sarà luogo a parlare ... mìnimo comune mùltiplo Il minore tra i multipli comuni a due o più numeri interi positivi (in sigla m.c.m.; ➔ minimo). disequazione In matematica, il termine equivale propriamente a disuguaglianza, ma si usa abitualmente come contrapposto di equazione. Risolvere una d. in una incognita (o in più incognite) significa trovare tutti i valori dell’incognita (o le coppie, terne ecc., di valori delle incognite) che rendono soddisfatta ... massimo comun divisore (MCD) In matematica, dati 2 o più numeri interi, il più grande tra i divisori a essi comuni. Se due o più numeri hanno per MCD l’unità, si dicono primi tra loro. Naturalmente più numeri primi sono anche primi tra loro, ma non viceversa. Il MCD può trovarsi con il metodo delle divisioni successive, oppure ...
Tag
  • LEGGE DI CANCELLAZIONE DEL PRODOTTO
  • DOMINI A FATTORIZZAZIONE UNICA
  • DOMINI DI → DEDEKIND
  • DOMINIO D’INTEGRITÀ
  • CAMPO DEI QUOZIENTI
Vocabolario
integrità
integrita integrità s. f. [dal lat. integrĭtas -atis]. – 1. L’essere integro, intero, intatto; lo stato di una cosa che possiede tutte le sue parti, i proprî elementi e attributi, che conserva intatta la propria unità e natura, o che non...
dominio
dominio domìnio s. m. [dal lat. dominium, der. di domĭnus «signore, padrone»]. – 1. a. Genericam., il fatto di dominare: ambizione, sete di dominio; o d’essere dominato: insofferente di dominio; fig., il d. della legge; anche padronanza,...
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