dominio a fattorizzazione unica
dominio a fattorizzazione unica
Sia S un dominio d’integrità con unità, ovvero un anello commutativo con unità tale che se a≠0 e b≠0 (con a,b∈S) allora ab≠0 . Due elementi c,d di S si dicono associati se a=ub, con u invertibile (ovvero esiste a−1) in S; un elemento non invertibile a si dice irriducibile (o primo) se a=bc implica che a o b o entrambi siano invertibili. Nel caso dei numeri interi relativi ℤ, per es., 1 e −1 sono gli unici elementi invertibili. Un elemento è, dunque, irriducibile se e soltanto se è divisibile esclusivamente per essi o per sé stesso (e il suo opposto), ovvero è primo. Osserviamo che ogni intero relativo si può scrivere come prodotto di numeri primi. La generalizzazione di tale proprietà conduce alla definizione del concetto di dominio a fattorizzazione unica. Un dominio d’integrità S è detto dominio a fattorizzazione unica se: (a) ogni elemento a≠0 è invertibile o uguale al prodotto di un numero finito di elementi ;irriducibili di S; (b) la decomposizione precedente è unica a meno di elementi associati agli irriducibili e del loro ordine. In virtù dell’esistenza di un algoritmo di divisione, un anello euclideo è sempre un dominio a fattorizzazione. Il viceversa è però falso, come attesta il caso dell’anello F[x1,x2] dei polinomi sul campo F nelle variabili x1 e x2. Consideriamo ora l’insieme R[x1,x2] dei polinomi nelle variabili x1, x2 a coefficienti in un anello commutativo R, con le usuali operazione di somma e prodotto. Nonostante R non sia un campo (possieda cioè elementi non invertibili), R[x1,x2] è ancora un anello commutativo. Le relazioni tra le proprietà algebriche dell’insieme R e quelle dei corrispondenti anelli di polinomi R[x1], R[x1,x2],... trovano espressione nel seguente importante teorema: se R è un dominio a fattorizzazione allora anche R[x1,xn], n>0, lo è. In altri termini, se R soddisfa le proprietà (a) e (b) nell’anello R[x1,xn] esiste un algoritmo di divisione che ha le usuali proprietà ed è possibile ricondurre lo studio dei polinomi a quello dei loro fattori irriducibili.