DODECAEDRO

DODECAEDRO

Il dodecaedro regolare è uno dei cinque poliedri regolari convessi (v. poliedri). Ha 12 facce, le quali sono pentagoni regolari convessi; 20 vertici, che sono vertici di angoloidi triedri, e 30 spigoli. Come ogni poliedro regolare, è iscritto in una sfera ed è circoscritto a un'altra sfera: il centro comune di queste sfere si dice anche il centro del poliedro, e ne è il baricentro. I 20 piani che toccano la sfera circoscritta nei vertici del dodecaedro limitano un icosaedro regolare. Se indichiamo con l la lunghezza di uno spigolo del dodecaedro, con r il raggio della sfera iscritta (o apotema del dodecaedro), con R il raggio della sfera circoscritta, con s la misura della superficie del dodecaedro medesimo, e con v il suo volume; valgono le formule:

Modelli di dodecaedri regolari, d'origine etrusca e celtica, risalgono almeno alla prima metà del millennio a. C. La costruzione geometrica del dodecaedro è attribuita da Proclo a Pitagora (verso il 500 a. C.) e secondo uno scolio a Euclide (XIII, 17) apparterrebbe ai pitagorici. Non è detto però che queste testimonianze si riferiscano alla costruzione in senso scientifico elevato, che si trova in Euclide.

Le rotazioni dello spazio intorno al centro di un dodecaedro regolare, le quali riportano in sé stesso il dodecaedro, costituiscono un gruppo, detto: gruppo del dodecaedro, o anche dell'icosaedro. Questo gruppo è formato da 60 rotazioni, delle quali: 24 sono quinarie e hanno per assi le 6 rette perpendicolari alle facce del dodecaedro, condotte per il centro; 20 sono ternarie e hanno per assi le 10 diagonali del dodecaedro; 15 sono binarie e hanno per assi le rette congiungenti i punti medî di due spigoli opposti; e infine una è l'identità. Il gruppo può essere ampliato aggiungendovi i prodotti di ciascuna delle rotazioni con la simmetria rispetto al centro del poliedro. Si ha così un gruppo di 120 operazioni, detto appunto il gruppo ampliato del dodecaedro o dell'icosaedro. Fra queste operazioni figurano 15 simmetrie ortogonali, rispetto a piani di simmetria del dodecaedro. Il gruppo del dodecaedro è oloedricamente isomorfo a uno dei gruppi finiti di sostituzioni lineari sopra una variabile complessa.

In cristallografia si considerano altri dodecaedri, non regolari, ma dotati di particolari simmetrie; v. cristalli.

Bibl.: L. Bianchi, Lezioni sulla teoria dei gruppi di sostituzioni, ecc., Pisa 1900; Enriques-Chisini, Lezioni sulla teoria geometrica delle equazioi, I, Bologna 1915; IX, pp. 10, 11; per riferimenti storici cfr. G. Loria, Le scienze esatte nell'antica Grecia, Milano 1914, pp. 39-40.